三角比

質問

０°<θ<180°とする。xについて2次方程式(1-cosθ)x^2＋4(sin^2θ)x+(1+cosθ)=0
について、次の問いに答えよ。
(1)この方程式がただ1つの実数の解をもつようなθと、そのときの解を求めよ。
(2)この方程式が-1以上の解をもつようなθの範囲を求めよ。

数学Iを忘れたのでお願いできますか。

(1)はできたので（２)をお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(2)
0°<θ<180°なのでxの2次の係数(1-cosθ)>0
なので2次方程式であることが判る。

左辺=f(x)と置いてy=f(x)のグラフがx≧-1でX軸と交点を持つ条件を
考えれば良いでしょう。
この際 f(0)=1+cosθ＞0(0°<θ<180°)であることも考えて
グラフの対称軸と頂点の位置,f(-1)の値で場合分けすれば良いでしょう。

場合分けして、個々の場合についてθの範囲を求めて下さい。
まず質問者さんのやった解答を補足にお書き下さい。

θの範囲は当方でやってみた所、45°≦θ≦<150°となるかと思います。
この範囲のθに対するy=f(x)のグラフを添付して置きますので参考にして下さい。

回答No.6

B-juggler

補足感謝。＃１です。

基本的に、回答の＃２と＃４さん（同じ方ですね）と、同じように思います。

（１）の解答が正しいのかどうかを確認してみてください。

＞xについて2次方程式(1-cosθ)x^2＋4(sin^2θ)x+(1+cosθ)=0
問題から直接コピー。

（ｓｉｎθ）＾２　＝　ｓｉｎ＾２　θ　と、普通は書きますから、

ｓｉｎ（２θ）と、ｓｉｎ＾２　θ　は別物です。

（１）の回答を良く見直してください。

（２）は、考え方ももう書かれているけれど、もう少し簡単に？

－１≦ｘ　となる　ｘの解があると考えればいいから、場合わけをして、

それぞれ解いていくという風になると思うけれど。

こういうのは地道が一番早かったりします。

グラフが（下に凸）、（重解：ｘ＝－１）・（片方だけ　－１≦ｘ）・（両方　－１以上）

の３種類の場合わけになるかな？　（ｘ＾２の係数がマイナスになることはないね）

そっか、（両方－１以上）は　必要ないね～。　二通りでいいか。
　＃虚数解が出てはいけないから、判別式注意ね。

（１－ｃｏｓθ）＝ｔ　かなにかにおいて　（０＜ｔ≦２　かな）

＞(1-cosθ)x^2＋4(sin^2θ)x+(1+cosθ)=0

ｔｘ＾２＋４ｔ（１＋ｃｏｓθ）ｘ＋（１＋ｃｏｓθ）＝０

ここから完全平方を取ればいいかな？

ｔ｛ｘ＾２＋４（１＋ｃｏｓθ）ｘ　＋（１＋ｃｏｓθ）｝　＝０

ｔ｛ｘ＋２（１＋ｃｏｓθ）｝＾２－４ｔ（１＋ｃｏｓθ）＾２　＋（１＋ｃｏｓθ）　＝０かな

これで軸の位置とか、最低値とか出ますから、そこから条件に入れて行って見てください。

計算に自信はないからね～。

結構面倒なことになりそうだよ。　がんばってください。

ｍ（＿　＿）ｍ

お礼

ありがとうございます。
考えて見ます

回答No.5

info22_

#2 です。
>xについて2次方程式(1-cosθ)x^2＋4(sin^2θ)x+(1+cosθ)=0
「(sin^2θ)」は
sin^2θ={sinθ}^2　かと思いますが違いますか？

A#1の補足では
>(1－cosθ)x^2+4(sin2θ)x+1+cosθ=0 ----(*)
これは
>(1-cosθ)x^2＋4(sin^2θ)x+(1+cosθ)=0
とは異なります。

>(*)がただ１つの実数解をもつとき、(*)の判別式をDとおくと、D=0⇔D/4=0となる。
>D/4=4sin^2(2θ)-(1-cosθ)(1+cosθ)
> =4sin^2(2θ)-1+cos^2(θ)
は考え方は合ってますが元の方程式が間違っているのでD/4も間違いです。

>この方程式がただ1つの実数の解をもつようなθ
0°<θ<180°で2次の係数(1-cosθ)>0を考慮すると
判別式D/4=0を満たせばよい。
>xについて2次方程式(1-cosθ)x^2＋4x(sin(θ))^2+(1+cosθ)=0
D/4=4(sinθ)^4-{1-(cosθ)^2}=2(sinθ-1/2)(sinθ+1/2)(sinθ)^2=0
sinθ=1/2, sinθ=-1/2, sinθ=0
0°<θ<180°より θ=30°,150°

(2)
A#2の(2)の回答中
>45°≦θ≦<150°
は誤植なので次のように訂正してください。
45°≦θ≦150°

お礼

ありがとうございます。
やはり(2)がわかりません。
出来ない人ですみません。

回答No.4

mister_moonlight

＞f(x)＝(1-cosθ)x^2＋4(sin^2θ)x+(1+cosθ)=0　とする。

とんでもない事を忘れてる。先の回答は、この2次関数が下に凸である事を前提にしている。
しかし、そのためには、1-cosθ＞0　だから、確かに下に凸である事を説明しなければならなかった。

それを追加しておく。

回答No.3

mister_moonlight

f(x)＝(1-cosθ)x^2＋4(sin^2θ)x+(1+cosθ)=0　とする。
条件から、1-cosθ≠0　→　sinθ≠0
-1以上の解を持つにしても1個か、2個かわからないから、場合わけが必要。
(1)　解が1個の時、f(-1)＝1-2sin^2θ≦0　が条件
(2)　解が2個の時、判別式＝4(sin^2θ)(sin^2θ-1)≧0、f(-1)＝1-2sin^2θ≧0　軸＝(-2sin^2θ)/(1-cosθ)＝-2(1+cosθ)(1-cosθ)/(1-cosθ)≧-1　が条件

そして、(1)と(2)の共通範囲を求める。続きは自分でやって。

回答No.1

B-juggler

こんばんは。

えっとね、分かるところまで書いてくれるかな？

（１）を解いたのなら、それのっけてくれるかな？

他のところに丸投げしてないかな？　そんなこと疑われないように、

自分でできたところをちゃんと上げて下さい。

こういうところで、人任せしてたら、後から苦労するよ～。

代数学屋より。　ｍ（＿　＿）ｍ

補足

(1)はこのようにしてしました。
(1－cosθ)x^2+4(sin2θ)x+1+cosθ=0 ----(*)
(*)がただ１つの実数解をもつとき、(*)の判別式をDとおくと、D=0⇔D/4=0となる。
D/4=4sin^2(2θ)-(1-cosθ)(1+cosθ)
=4sin^2(2θ)-1+cos^2(θ)
=4(1-cos^2(2θ))-1+(1/2)+(cos2θ/2)
=-4cos^2(2θ)+(cos2θ/2)+(7/2)
なので、
D/4=0
-4cos^2(2θ)+(cos2θ/2)+(7/2)=0
8cos^2(2θ)-cos2θ-7=0
(cos2θ-1)(8cos2θ+7)=0
ここで、
0°≦2θ＜720°, -1≦cos2θ≦1　より、
cos2θ=1
∴2θ=0°, 360°
θ=0°, 180°
よって、(*)がただ一つの実数解を持つようなθの値はθ=0°, 180°である。

また、そのときの(*)の解は、
i)θ=0°のとき、cosθ=1, sin2θ=0より、(*)は
(1-1)x^2+4*0*x+1+1=0
となり、解なし。
ii)θ=180°のとき、cosθ=-1, sin2θ=0より、(*)は
(1+1)x^2+4*0*x+1-1=0
∴x=0　となる。