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数学です
xの方程式(x-cos+√3sinθ)^2+4sin^2θ-2=0…(1)について次の問いに答えよ ただし0≦θ<πとする。 1.(1)が実数解を持つときθの範囲を求めよ。 2.1のとき実数解をα,βとする。θを1の範囲で変化させるときα^2+β^2の最大値と最小値を求めよ お願いします
- yukiyokoyoko
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- 回答No.3
先の回答につき、結果に誤りがありました。お詫びして次のように訂正します。 -√3/2≦cos(2θ+pi/3)≦1 より、 4-2√3≦α^2+β^2≦8. ------------------------
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- 回答No.2
(x-cosθ+√3*sinθ)^2+4*(sinθ)^2-2=0 として考えます。 cosθ=c, sinθ=s と略記します。 {x - (c-√3*s)}^2=2 - 4*s^2 より、この方程式が実数解をもつ条件は、 2 - 4*s^2≧0 すなわち、s≦1/√2. よって、0≦θ≦pi/4 or 3pi/4≦θ<pi. 1) のとき、α、βは、c-√3*s±√(2-4*s^2) ですから、 α^2+β^2=2*{(c-√3*s)^2+2-4*s^2}=2*c^2-4√3*cs-2*s^2+4 ={1+cos(2θ)}-2√3*sin(2θ)-{1-cos(2θ)}+4 =2*cos(2θ)-2√3*sin(2θ)+4 =4*cos(2θ+pi/3)+4. ここで、pi/3≦2θ+pi/3<5pi/6 or 11pi/6≦2θ+pi/3<2pi+pi/3 ですから、-1/2≦cos(2θ+pi/3)|≦1 となり、 Max(α^2+β^2)=8, min(α^2+β^2)=2. となります。 --------------------------------- ※タイプミスがあるかもしれません。考え方を読みとってください。
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