高校数学です

質問

xに関する方程式|1-|x-1||=cが4つの解をもつための実数cの範囲を求めよ

過去問なんですがわからなくて困ってます
計算過程も含めてお願いいたします。

回答No.4

mister_moonlight

絶対値の特性を理解しないで、単細胞な思考をすると　＃2や＃3の回答のようになる。

｜1-|x-1||=c　より　先ずc＞0　‥‥(1)
1-|x-1|＝±c　だから　|x-1|＝1±c。そこで、y＝|x-1| と　y＝1±c　(x軸に平行な直線)　との交点を考える事になる。
y＝1±cだから　cとyの対応は　1対2. 同様にして　y＝|x-1| より　yとxの対応は　1対2.
よって、4つの解を持つという事は、cの値が2つあると良い。
これは、y＝|x-1| と　y＝1±c　の交点の数が2個であれば良い事を意味している。
グラフから　1±c＞0だが　(1)より　0＜c＜1.

回答No.3

info22_

グラフを描いて解けば簡単です。

先ず
|1-|x-1||=c
は
|(|x-1|)-1|=c
と同じです、

2つのグラフ
y=|(|x-1|)-1|　...(A)
と
y=c ...(B)
の交点数が解の個数です。

(A)のグラフは
添付図のようになります。黒実線が（A）のグラフ、赤実線が(B)のグラフです。
従って(B)のX軸に平行な直線のグラフが(A)のグラフと４つの交点を持つようにy切片cを定めれば良いから添付図の黒線のより
　0<c<1
と求まります。

解答には(A),(B)のグラフ以外は書く必要がないと思います。

[補足]（A）のグラフの描く過程（描き方）
添付図のように
青点線が
　y=x-1
のグラフです。y<0の部分をx軸対称にy>0の側に折り返してやります。できた青実線のグラフが
　y=|x-1|
です。このV字型折線グラフをY軸した方向に1平行移動したV字型水色実線グラフが
　y=(|x-1|)-1
のグラフです。このグラフのy<0（X軸下方）の部分をX軸対象にy>0側に折り返して出来る黒実線のW字型
のグラフが
　y=|(|x-1|)-1|
で(A)のグラフとなります。

この（A）のグラフが赤実線のX軸に平行な直線y=c(y切片c)と4箇所で交わるようなy切片cの範囲が求める
cの範囲で図からすぐもとまりますね。

回答No.2

ferien

＞xに関する方程式|1-|x-1||=cが4つの解をもつための実数cの範囲を求めよ
ｙ＝｜１－｜ｘ－１｜｜とｙ＝ｃのグラフの交点が４個になるときの
ｃの範囲を求めればいいです。

（１）１－｜ｘ－１｜≧０のとき、ｙ＝１－｜ｘ－１｜
ｘ－１≧０のとき、ｘ≧１で、このとき、１－（ｘ－１）≧０だから、ｘ≦２
共通範囲１≦ｘ≦２のとき、ｙ＝１－（ｘ－１）より、ｙ＝－ｘ＋２
ｘ－１＜０のとき、ｘ＜１で、このとき、１＋（ｘ－１）≧０だから、ｘ≧０
共通範囲０≦ｘ＜１のとき、ｙ＝１＋（ｘ－１）より、ｙ＝ｘ
（２）１－｜ｘ－１｜＜０のとき、ｙ＝－１＋｜ｘ－１｜
ｘ－１≧０のとき、ｘ≧１で、このとき、１－（ｘ－１）＜０だから、ｘ＞２
共通範囲２＜ｘのとき、ｙ＝－１＋（ｘ－１）より、ｙ＝ｘ－２
ｘ－１＜０のとき、ｘ＜１で、このとき、１＋（ｘ－１）＜０だから、ｘ＜０
共通範囲ｘ＜０のとき、ｙ＝－１－（ｘ－１）より、ｙ＝－ｘ

まとめると、
ｘ＜０のとき、ｙ＝－ｘ
０≦ｘ＜１のとき、ｙ＝ｘ
１≦ｘ≦２のとき、ｙ＝－ｘ＋２
２＜ｘのとき、ｙ＝ｘ－２
のグラフを描けば、ｙ＝｜１－｜ｘ－１｜｜のグラフになります。
ｙ＝ｃとの交点の個数は、
ｃ＜０のとき、０個
ｃ＝１のとき、２個
０＜ｃ＜１のとき、４個
ｃ＝１のとき、３個
１＜ｃのとき、２個

よって、４個の解をもつｃの範囲は、０＜ｃ＜１

グラフを描くとすぐに分かります。確認してみて下さい。

回答No.1

B-juggler

えっと、少なくともどこまで分かるか書いてください。

全部書けば、かなりの分量になるし

そもそもここは、理解を助ける所で、問題の答えを導き出すところでは

ないとおもう。

　＃つまりは、丸投げはダメよ　ってこと。

絶対値が二つ掛かる、珍しいような形だね。

よく整理をしてみる。そういうコマメな作業が一番大事。

｜１－｜ｘ－１｜｜－ｃ＝０　（１）

（１）が題の式だね。

絶対値の性質を考えてみよう。

ちょっと分かりやすく書き直すよ。

（１）の変形

｜１－｛｜ｘ－１｜｝｜－ｃ＝０　（２）

　＃まぁなんてことはない、かっこを１つ追加しただけ。

で、もう１つ、｛　｝の中を１つの記号と思ってしまう。

｜１－Ａ｜－ｃ＝０　（３）

　＃これも面倒な作業ではないね。

　＃｜ｘ－１｜＝Ａ　とおいただけ。

後は何も考える必要はないと思うのだけれど？

１－Ａ≧０　ならば　そのまま　絶対値をはずして、Ａとｃの範囲は求まる。

　＃か、どうかが問題だけどね。解なしの可能性は残るから注意ね。

１－Ａ＜０　ならば　－（１－Ａ）－ｃ＝０　として、

やはり同様に。　

後は、Ａの部分での場合わけだ。

そんなにきつくないはずよ。

冷静に、一歩ずつ。

いっぺんに解こうとか、きれいにやろうとか思うことなく、

泥臭くてもいいから、解答にたどり着いて、そこからもっときれいにできないか？

順番間違えると、失敗するよ。

がんばれ。(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)