ベクトルからです。

質問

☆一つ目です。。
A（２．－１）B（１．２）C（４．５）D（ｔ．ｔ＋３）があって、
｜ACベクトル｜、｜BDベクトル｜をそれぞれ求め、また｜ACベクトル｜＝｜BDベクトル｜のとき、ｔの値を全て求めるのですが、おそらく計算していくと２√１０＝√２ｔ＾２＋２となり、ｔ＝＋－√１９になると思います。しかしこのｔを求める時、２乗したりといろいろしたので答えは違うのではないかと思い…どうか教えてください。

☆ 二つ目です。。
△OABにおいて、OAを２：１に内分する点をC、OBを２：３に内分する点をDとし、AD、BCの交点をEとします。また、OE、ABの交点をFとします。AF：FBを最も簡単な整数比で表すのですが、これは…OFベクトルを求めれば良いのでしょうか？だとしたらどのように求めれば良いのか分かりません…。どうか教えてください。。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

＞☆一つ目です。。
t=±√19であってます。
もし、不安なら、|BD(→)|に代入してみて、|AD(→)|と等しくなるのを確認してもいいでしょう。
(もし、他にも条件があるなら、どちらか一方のみが答え、というのもありえます。)

図形的に言えば、
BD(→)＝(1,-1)+t(1,1)となって、
これは、点(1,-1)を通って、方向ベクトルが(1,1)の直線を表し、|BD(→)|は原点からの距離を表します。

図を書けば、下のようになって、"←"で示したあたりは原点からの距離が等しくなっていますね。
だから、長さが|AD(→)|と等しくなる点が２つあっても不思議ではない、ということです。
(図が歪んでしまっていたら、すいません。)
　　　　　　　　　　／
　　　　　　　　　／←
原点→・　 ／
　　　　　／
　　　／←
　／
／

＞☆ 二つ目です。。
＞OFベクトルを求めれば良いのでしょうか？
その通りです。

以下、ベクトルの"→"は省略します。

目標は
OF＝αOA＋βOB
と表すことです。このように表されれば、上に書いた通り
AF:FB＝β：αとなります。

線分PQをm:nに内分する点をRとすると、
OR={nOP＋mOQ}/(m+n)
となります。
この事を使えば、求められると思います。

※AE:ED=t:1-t、BE:EC=1:1-sとおきましょう。
こうすると、上のことを使って、OEがOA、OBを使って二通りで表され、OA,OBが一次独立なので、OA,OBの係数比較によって、t,sが求まります。つまり、OEが求まります。

回答No.5

fushigichan

＃１です。
すみません、２番目の問題、私の計算用紙で、計算ミスがありました。

OE=(1-t)a+(2t/5)b
OE=(2s/3)a+(1-s)b

1-t=2s/3
2t/5=1-s

(3/2)-(3/2)t=s
(2/5)t=1-s
-----------------足す
(3/2)-(3/2)t+(2/5)t=1
(-15t+4t)/10=-(1/2)
-(11/10)t=-(1/2)
t=5/11
s=9/11
でした。すみません。

OE=(6/11)a+(2/5)(5/11)b
=(6/11)a+(2/11)b
となるので、
OF=kOE=(6/11)ka+(2/11)kb
とおくと、
OF=(1-x)a+xb
とから、

(6/11)k=1-x
(2/11)k=x
--------------足す

(6/11)k+(2/11)k=1
(8/11)k=1
k=11/8
x=(2/11)*(11/8)=1/4
となるので、x:(1-x)=(1/4):(3/4)=1/3
の誤りでした。申し訳ないです。訂正させてください。

回答No.4

eatern27

#3です。
どうでもいいことですが、訂正です。
＞と表すことです。このように表されれば、上に書いた通り
上には何も書いてないですね。「下」の間違いです。

余談ですが、
2つめの問題については、チェバの定理を使えば一発で解けますね。
答えは、１：３になると思います。

回答No.2

ONEONE

☆一つ目
ベクトルを↑で表すと
｜AC↑｜＝｜BD↑｜なので
｜AC↑｜^2＝｜BD↑｜^2
|AC↑|^2=4+16=20
|BD↑|^2=(t-1)^2+(t+1)^2=2t^2+2
20=2t^2+2　t^2=9　t=±3
になると思われます。

＞２√１０＝√２ｔ＾２＋２
√（２ｔ＾２＋２）　（カッコを付けよう）
＞ｔ＝＋－√1９　
（タイプミス？）

☆ 二つ目
＞OFベクトルを求めれば良いのでしょうか？
そのとおりです。

まずはOE↑を求めます。
CE：EB=s：1-s，AE：ED=t：1-t
とおきます。（よく使うパターン）
そしてOE↑を2通りの方法で表します。
OC↑＝(2/3)OA↑、OD↑＝(2/5)OB↑
△OCBに注目して・・・OE↑＝(1-s)(2/3)OA↑+sOB↑
△OADに注目して・・・OE↑＝(1-t)OA↑+t(2/5)OB↑

一応「OA//OBでない（一次独立）」と述べた上で
各ベクトルごとに係数比較します
するとs、tが求まり、OE↑も求まります。

次にOF↑＝kOE↑・・・(1)とおけます。（∵OF//OEだから）
またFがABをm:1-mに内分する点だとすると
OF↑＝(1-m)OA↑+mOB↑・・・(2)ともおけます。

(1)(2)よりkとmが求まって、AF：FBが求まります。

回答No.1

fushigichan

questerさん、こんにちは。

一つ目の問題は、
＞｜ACベクトル｜＝｜BDベクトル｜のとき

このような条件のときの点Dの座標を求めると、
tは確かに±√19になりますが、
AC not平行　BD　となります。
ただ、２点A,Cと２点B,Dとの距離が等しいだけ、という感じです。
点Dの座標(t,t+3)は合っていますか？平行四辺形となる座標を求めるのでしょうか？
詳しくお願いします。

２つ目の問題です。
＞これは…OFベクトルを求めれば良いのでしょうか？だとしたらどのように求めれば良いのか分かりません

分かりやすくするために、
ベクトルOA=ベクトルa
ベクトルOB=ベクトルb
（以下、ベクトル、という言葉は略しますね）

まず、OC=(2/3)OA=(2/3)a
また、OD=(2/5)OB=(2/5)b
として、さらに
点Eが線分ADをt:(1-t)に内分するとします。
0<t<1
このとき、
OD=(1-t)OA+tOD
=(1-t)a+(2/5)tb・・・(1)

また、点Eが線分CBを(1-s):sに内分するとします。
0<s<1
このとき、
OE=sOC+(1-s)OB
=s(2/3)a+(1-s)b・・・(2)

(1)(2)の連立方程式を解いて、s,tを求めましょう。
t=5/9
s=2/3と求まりました。ゆえに
OE=(4/9)a+(1/3)b

さらに、OFはOEの実数倍であるからOF=kOEと書ける。
OF=k{(4/9)a+(1/3)b}
=(4k/9)a+(k/3)b・・・(3)

また、AF:FB=x:(1-x)とすれば
0<x<1
OF=(1-x)a+xb・・・(4)

(3)(4)から、k,xを出せばいいです。
k=9/7ゆえにx=3/7と出ます。
1-x=4/7ですから
x:(1-x)=3:4
となって、点FはABを３：４に内分するといえるでしょう。