図形の相似条件について

質問

図形の相似条件について質問があります。

問題：平行な二つの面の上面と底面の半径の比が１：２である円錐台を高さを３等分する二つの
平面で切断したときにできる３つの立体の体積比をもとめよ。

解答・・・
３等分した高さをそれぞれＨ、円錐台の側面を延長してできる円錐の頂点をＡと、
Ａから上面までの高さをＸとすると、
上面の半径：底面の半径＝１：２＝X：Ｘ＋３Ｈ
よってX＝３H

Aを頂点、４つの平面を底面とする４つの円錐は相似であり
相似比はＸ：Ｘ＋Ｈ：Ｘ＋２Ｈ：Ｘ＋３Ｈ＝３：４：５：６
よって体積比は２７：６４：１２５：２１６
円錐代を切断でいてできる３つの立体の体積を上から順にＶ１，Ｖ２，Ｖ３とすると
Ｖ１：Ｖ２：Ｖ３＝６４－２７：１２５－６４：２１６－１２５＝３７：６１：９１

というのが流れなのですが、ここで分からないことがあります。
なぜ、「Aを頂点、４つの平面を底面とする４つの円錐は相似」なのでしょうか？

私は、てっきりＶ１とＶ１＋Ｖ２とＶ１＋Ｖ２＋Ｖ３が相似で、
高さの相似比がＨ：２Ｈ：３Ｈ＝１：２：３なので
それから体積比Ｖ１：Ｖ２：Ｖ３＝１：２＾３－１：３＾３－２＾３－１なのかと思いました。

実は、Ｖ１とＶ２とＶ３も相似な図形にみえます。

三角形は下記のような相似条件があって、
(1)３組の辺の比が等しい
(2)2組の辺の比が等しく、そのはさむ角が等しい
(3)2組の角が、それぞれ等しい
それにあてはまるか？を考えればいいのかと思うのですが、
立体の時は何をてがかりにしたらいいのでしょうか？
「Ａを頂点、４つの平面を底面とする４つの円錐」は相似で
「Ｖ１とＶ１＋Ｖ２とＶ１＋Ｖ２＋Ｖ３」は相似ではない、
「Ｖ１とＶ２とＶ３も相似ではない」理由、判断の仕方を教えてください。
初歩的なことでお恥ずかしいのですが、よろしくおねがいいたします。

回答No.6

naniwacchi · ベストアンサー

#5です。

添付の図の「x」は求められていますか？
x＝ 3hとなるはずです。

あとは、点Aを頂点とする三角形の相似を考えていけば、
底辺の比として #5で書いた比が求められます。

三角形の相似と台形の相似は話が別であることに注意が必要ですね。

お礼

なるほど！！！！すべての解答において、わかりやすく
、ポイントを得た解説をしていただきありがとうございました。
本当に助かりました。
すごいですね～感謝とともに関心いたしました。
ありがとうございました。

回答No.5

naniwacchi

#1です。

＞でも、Ｖ１とＶ２とＶ３が相似ではないことは理解できました。
＞でも、Ｖ１とＶ１＋Ｖ２とＶ１＋Ｖ２＋Ｖ３が相似でない？のはなぜなんでしょう？
V1の上面の半径を R1としてみると、V2、V3の上面の半径はそれぞれ
V2の上面の半径：R2＝ 4/3* R1
V3の上面の半径：R3＝ 5/3* R1

となります。（質問中で添付している断面図を考えれば求められます）
よって、上面の円の相似比は、３：４：５になります。

また、V2の上面は V1の下面になっています。
以下、同じように考えると下面の円の相似比は、４：５：６になっています。
すでに、この時点で上面と下面の相似比が違っています。

お礼

くわしく、分かりやすい説明ありがとうございました。
＞V1の上面の半径を R1としてみると、V2、V3の上面の半径はそれぞれ
＞V2の上面の半径：R2＝ 4/3* R1
＞V3の上面の半径：R3＝ 5/3* R1
の部分なんですが、
4/3* R1
5/3* R1
の4/3と5/3はどこからきたのでしょか？

質問ばかりですみません。。。。

回答No.4

alice_44

円錐台のほうは、
上底と下底で拡大率が違いますから、
相似の位置にはなっていません。

お礼

拡大率ですか。なるほど。
拡大率で検索してみたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

円錐たちは「相似の位置にあるから」相似。
教科書か参考書で、この言葉を探してごらん。

お礼

相似の位置で調べました。
円錐たちが相似であることは理解できたのですが、
Ｖ１＋Ｖ２とＶ１＋Ｖ２＋Ｖ３も、、
一点Ａを通る直線を利用して作図されているので、
相似のように思うのですが、違うのでしょか？

回答No.2

tomokoich

Aを頂点４つの平面を底面とする４つの円錐の体積は確かに解答にあるように
相似ですね
これはそれぞれ円錐の体積を具体的に求めてみるとわかりますが
例えば一番小さい円錐と一番大きい円錐の比は
一番小さい円錐の体積が半径rとするとr^2×3h×π×(1/3)=h(r^2)π
一番大きい円錐の体積は(2r)^2×6h×π×(1/3)=8h(r^2)π
で1:8になっています
これは辺の比は1:2体積の比が1:(2^3)になっており相似になっています
残りの円錐も円錐を側面で切断した時の三角形の底辺の比と高さの比は相似になりますので底面積の半径の比も相似比は同じなので相似になります

でもV1,V2,V3はそれぞれの円錐の体積から一つ小さい円錐の体積を引いていますので相似にはなっていません。

あまりわかりやすい説明ではないかもしれませんが・・

お礼

ありがとうございます。
ＶＡとＶ３とＶ３が相似でないのは理解できました。
でも、
Ｖ１＋Ｖ２とＶ１＋Ｖ２＋Ｖ３が相似でない理由がどうしても理解できないのです。。。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

＞実は、Ｖ１とＶ２とＶ３も相似な図形にみえます。
確かに、添付されている写真をみると側面の傾きも同じなので・・・と見えますが、
相似ではありません。

立体の相似というのは、縦・横・高さ方向のそれぞれの比が同じにならないといけませんよね。
たとえば、立方体はいつも縦・横・高さの比が一定になるので、
どのような立方体であってもお互いに相似な関係になっています。

さて、V１と V2を比較したとき、「高さ」は等分したものですから同じですよね。
というこことは、上面や下面の相似比と高さの比は異なっているはずです。
なので、相似ではありません。

お礼

おお！！なるほｄ！！そういうことですね。
なんとわかりやすい説明でしょう。ありがとうございます。

でも、Ｖ１とＶ２とＶ３が相似ではないことは理解できました。でも、Ｖ１とＶ１＋Ｖ２とＶ１＋Ｖ２＋Ｖ３が相似でない？のはなぜなんでしょう？