高さa,底面の円の半径aの円錐を、底面の円の中心を通り、底面と４５°の

質問

高さa,底面の円の半径aの円錐を、底面の円の中心を通り、底面と４５°の角度で交わる平面で
切断したとき、小さい方の体積を求めよ。

これを次のように考えましたが、答えとは異なるのですが、
考え方のどこが間違っているのか分かりません。考え方を示しますので
誤りをご指摘ください。
最初に切断したときの切り口をＳ１とする。
次に小さい方の体積を切り口Ｓ１に平行な平面で切った切り口をＳ２とする。
このとき、Ｓ１とＳ２は相似な図形だから、以下、Ｓ１に平行な平面で切った
切り口はすべて相似であることから、この切り口の面積を積分すると求める体積になると
思いました。
中心を通って、Ｓ１と４５°になる直線をＸ軸にして、中心のＸ座標を０として、
積分の式は、Ｓ１の面積をＡとするとＡ×∫[0～a](a-x)^2/2dxとなりました。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

＞(1)簡単に相似でないと判断はできる方法は？

「すべての放物線は相似である」は正しいですが、放物線の一部だけを見た場合は相似とは限りません。
例えば、y=x^2とy=2x^2とは相似としていいですが、-1≦x≦1の区間だけにすると相似ではありません。
相似であると明確に証明できない限りはむやみに相似と判断しないことです。

(2)もし、相似だったら質問のような方法で積分してよいのでしようか？

(a-x)^2/2がどこからきたのかわかりませんが、相似でなくても考え方の方向は合ってます。

Ｓ１の面積をＡとすると、これはx=0のときの面積だから、
x=tのときの面積は、縦方向に(a-t)/a倍、横方向に√(a^2-t^2)/a倍したものになります。
（x=0のとき１倍、x=aのとき０倍になる）

よって、求める体積は、

V=(√2/2)×A×∫[0～a]((a-x)/a)(√(a^2-x^2)/a)dx

となります。（初めの(√2/2)は切り口が45度傾いているため）

お礼

回答ありがとうございます
すべての２次関数のグラフは相似ということは、はじめて
教えてもらうことでした。
相似だとおもい、安易に相似比の２乗とし、(a-x)^2/2がでてきました。
＞x=tのときの面積は、縦方向に(a-t)/a倍、横方向に√(a^2-t^2)/a倍したものになります
この部分を考えたいと思います。図でないと分かりづらいところがあるので、図を見ながら
考えます。

回答No.2

nattocurry

> Ｓ１とＳ２は相似な図形だから

なぜ？

お礼

回答ありがとうございます。
きちんと相似のチェックをいれていませんでした。
＃１さんへのお礼に書いた理由から、相似だと判断しましたが
相似でなかったようです。
もし、相似だったら質問のような積分の解法でいいのでしょうか？

回答No.1

nag0720

＞このとき、Ｓ１とＳ２は相似な図形だから、

なぜ？
Ｓ１とＳ２とは相似ではないですよ。

お礼

回答ありがとうございます
切り口は放物線で、相似のチェックは入れていませんでした。
円の中心と放物線の頂点の距離とｘ座標の関係から相似と思ってしまいました。
(1)簡単に相似でないと判断はできる方法は？
(2)もし、相似だったら質問のような方法で積分してよいのでしようか？