半径ｒの円を底面とする高さｈの円錐の体積の問題

質問

お世話になります。
１．頂点から底面への垂直線で、頂点からの距離がｙ（０＜ｙ≦ｈ）となる点を通り、底面に平行な切断面の面積を求めよ。
2．微小区間ｄｙを考える時、その切断面の円柱の体積を求めよ。さらに、これを用いて、積分により円錐の体積を求めよ。
という、２問があり、問１については、比を利用して（ｙ／ｈ・ｒ）＾２・3.14、問２については∫（ｙ／ｈ・ｒ）＾２・３．１４で円柱の面積がもとまり、円錐は円柱の面積の１／３なので１／３∫（ｙ／ｈ・ｒ）＾２・３．１４という解答を作りました。ここで、微小区間ｄｙの範囲を決めなくてはならなかったもか、この解き方であっているのか、重積分を使って解くべきなのか、解答がないため分かりません。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

＞問２については∫（ｙ／ｈ・ｒ）＾２・３．１４で円柱の面積がもとまり
円柱の体積はdV=π(ry/h)^2dy
です。
＞円錐は円柱の面積の１／３なので１／３∫（ｙ／ｈ・ｒ）＾２・３．１４という解答を作りまし
円錐の体積V=∫[0→h] π(ry/h)^2 dy
=π{(r/h)^2}∫[0→h] y^2 dy
=π{(r/h)^2}[(1/3)y^3] [0→h]
=π{(r/h)^2}(1/3)(h^3-0)=(1/3)π(r^2)h
と解きます。
＞重積分を使って解くべきなのか、
回転体の積分になりますので重積分の必要性はありません。

お礼

本当にありがとうございました。

回答No.2

fukuda-h

>問１については、比を利用して（ｙ／ｈ・ｒ）＾２・3.14
おかしいですね？
断面の半径をxとするとh:y=r:xではありませんか？
x=ry/hよって断面の面積はπ(ry/h)^2

＞問２については∫（ｙ／ｈ・ｒ）＾２・３．１４で円柱の面積がもとまり、円錐は円柱の面積の１／３なので１／３∫（ｙ／ｈ・ｒ）＾２・３．１４という解答を作りました。

これもおかしいですね。微小区間の体積を積分して全体の体積を求めなさいという問題ですからおかしくなってます。
微小区間の体積を積分する式を作らないといけませんね

問2は「微小区間ｄｙを考える時、その切断面の円柱の体積を求めよ」は
底面積を問１で求めた面積として高さをdyとした円柱を考えるので
π(ry/h)^2×dyとなり
これを高さ方向に積分して体積を求めるので
∫[0～h]π(ry/h)^2dy＝π(r/h)^2∫[0～h]y^2dy
=π(r/h)^2[(y^3)/3][0～h]
=π(r/h)^2×(h^3)/3
=1/3×π（r^2）h
です。

お礼

出直してきます。とくに１／３∫（ｙ／ｈ・ｒ）＾２・３．１４の
解答はやばいと思いました。