相似な立体の体積比（数学IA) について教えてください。

質問

相似な立体の体積比（数学IA)　について教えてください。

数学IAの問題で
添付図の立体は、底面の半径が4cmの円錐を底面から2cmのところで底面に平行な平面で切ってできたものである。この立体（太線）の体積を求めよ。

という問題です。解答によると元の円錐の体積をＶとすると求める立体の体積Ｓは

S={1-(3/4)^3}V

となっています。{1-(3/4)^3}この部分が分かりません。何故このようになるのか教えて頂けると助かります。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

おはようございます。
まさに「相似」を活用する問題ですね。

＞{1-(3/4)^3}この部分が分かりません。
全体：V（底面が半径 4cmの円の円錐）から上の部分：U（底面が半径 3cmの円の円錐）を差し引けば、問題の円錐台の体積が求まりますね。

Uは、Vを 3/4に縮小した円錐になっています。
ということは、体積比は（相似比の 3乗）に比例するので
V- U
＝ V- (3/4)^3* V
＝ { 1- (3/4)^3 }* V

となります。

お礼

とても分かりやすい解説本当にありがとうございます。
相似がポイントになっていて、後は題意の通り式を立てれば今回の分からなかった部分に辿り着けるのですね。

おかげで胸のもやもやがすっきりしました（笑）
改めてありがとうございます＞＜

回答No.2

alice_44

相似な図形の体積比が、
なぜ相似比の３乗かというと…

相似な直方体の体積が
(縦×a)×(横×a)×(高さ×a)
= (縦×横×高さ)×(aの３乗)
であることを基に、
積分を通じて示すしかないかと。

…ということは、
積分が未習の学年では、
そういうもんだと思って
暗記するしか。

お礼

何故相似比が３乗かというところも考えなくてはいけないのですね。
積分については勉強不足なため勉強する時に「相似な図形の体積比がなぜ３乗か？」ということを思い起こして示してみたいと思います。
ありがとうございます!