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円錐の体積の問題【数I】求め方の違いについて
OHを高さとする円錐がある。OHを2:1に内分する点をMとし、 Mを通り底面に平行な平面で切る。HM=3cm、底面の半径を9cmとするとき、 HMを高さとする円錐台の体積を求めよ。 解けたのですが、解説の欄に 9^2π×9÷3(1-8/27) という式が載ってました… これはどういう考え方なのでしょうか。教えてください_(._.)_ ちなみに自分は、大きい円錐から小さい円錐を引いて 体積を求めました。答えは171π cm^3です。
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OHを高さとする円錐がある。OHを2:1に内分する点をMとし、 Mを通り底面に平行な平面で切る。HM=3cm、底面の半径を9cmとするとき、 HMを高さとする円錐台の体積を求めよ。 解けたのですが、解説の欄に 9^2π×9÷3(1-8/27) という式が載ってました… >これはどういう考え方なのでしょうか。教えてください_(._.)_ 小さい円錐と大きい円錐の体積比は、2^3:3^3=8:27より、 円錐台と大きい円錐の体積比は、(27-8):27 だから、 円錐台の体積 =大きい円錐の体積×{(27-8)/27} =(9^2π×9÷3)×(1-8/27) ということだと思います。
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- asuncion
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質問者さんが行なわれた、「大きい円錐から小さい円錐を引く」考え方と同じです。 9³-6³ =9³(1-(2/3)³) =9³(1-(8/27)) くだんの円錐を縦に切って、断面を見たとき、大きい円錐の断面と小さい円錐の断面とは、 高さが相似比3:2です。 立体の体積は相似比の3乗ですので、27:8となります。
- info22_
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>解説の欄に >{((9^2)π×9)÷3}(1-(8/27))) >という式が載ってました… >これはどういう考え方なのでしょうか。 >ちなみに自分は、大きい円錐から小さい円錐を引いて 体積を求めました。 解説も質問者さんと同じ計算をしていることがわかりませんか? V1={((9^2)π×9)÷3} は大きい円錐の体積V1の式である事はわかりますか? 底面の面積S1が S1=(半径)^2*π=(9^2)π 高さH1=MH*(1+2)/1=3HM=9 体積公式V1=S1*H1/3={((9^2)π×9)÷3} ですね。 小さい円錐の体積V2=V1*(相似比)^3=V1*(2/(2+1))^3=V1*(8/27) 従って円錐台の体積Vは V=V1-V2=V1-(8/27)V1=V1{1-(8/27)}={((9^2)π×9)÷3}*{1-(8/27)} と大きい円錐から小さい円錐を引いた体積の式が、解説の欄の式に等しいことが分かるでしょう!
- dorotarou333
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たぶん体積比の考え方だと思います。 OHを高さとする円錐の体積を1と置くと、OMを高さとする円錐は 高さも半径も2/3です。円錐の体積が半径^2×高さ÷3であるため OMを高さとする円錐は1×(2/3)^3となります。 よって体積比はOHを高さとする円錐の体積:OMを高さとする円錐の体積=1:8/27です。 なのでOHを高さとする円錐の体積が9^2π×9÷3なので円錐台の体積は (1-8/27)×(9^2π×9÷3)となります。やってることは質問者様のやり方と同じです。
お礼
体積比だったのですか! よくよく考えてみれば、考え方は同じだったのですね^^; ご回答ありがとうございました!!
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お礼
なるほど!!考え方は同じだったんですね^^; 詳しいご回答ありがとうございました!!