図形の問題です。

質問

母線の長さが6√2、高さが8の円錐があります。

この円錐の内部に、体積が最大になる球をつくるとき、この球の半径を求めよ。
また、同じ円錐の内部に、体積が最大となる立方体をつくるときの立方体の4つの頂点が円錐の底面にあるものとして、この立方体の一辺の長さを求めよ。

という問題です。

解き方とともに、お願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

１）　内接球の半径

　円錐の高さを含む平面で切った断面で考えます。
　この断面の三角形の面積について、内接球の半径をｒとして考えますと、次の等式が得られます（三角形の面積と内接円の半径との関係を利用しています）。

　　（６√２＋６√２＋４√２）ｒ／２＝４√２×８／２
　∴　ｒ＝２

２）　内接立方体の一辺の長さ

　円錐の高さと、内接立方体の対角線を含む平面で切った断面で考えます。
　内接立方体の一辺の長さをａとして、この断面の左側の大小２組の直角三角形で２辺の相似比を考えると、次の等式が得られます。

　　２√２／８＝（２√２－√２ａ／２）／ａ
　∴　ａ＝８／３

　断面の取り方がミソです。

お礼

わかりやすい回答、ありがとうございました。

またお願いします。

回答No.2

naniwacchi

頂点から垂直に切った断面を考える（図を描く）と、わかりやすいです。
図をつけておきます。

・球
求める球の半径を rとしたとき、最大となる球は図のようになります。
この断面図をよく見てください。
答えを出すためのヒントは、「内接円」です。

・立方体
これも図のようになれば最大となります。
図の「縦」と「横」の関係をよく見てください。
答えを出すためのヒントは、「相似」です。