側面に接する曲線の長さ

質問

円錐に球がぴったりとはまっているとき、球が円錐の側面に接する部分（曲線）の長さはどうやって求めるのですか？正確な数字は忘れましたが、「球の半径、円錐の高さ・母線・底面の半径」などは既に出ていた気がします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞添付図で底面の半径BF=CF=r、母線の長さAB=AC=Lとすると、BD=CE=rだから
AD=AE=L-r。△ABC∽△ADEよりDE=BC*(AD/AB)=2r(L-r)/L。
球が円錐の側面に接する部分（曲線）の長さはDEを直径とする円の円周だから
πDE=2r(L-r)π/L=2πr(1-r/L)、
すなわち底面の円周×(1-底面半径/母線の長さ)になります。

補足

この場合、求める曲線は円錐の側面（扇形）にどのように示されているのでしょうか？
簡単なもので構いませんので、「円錐の展開図上に求める曲線が作図された図」のようなものを載せていただけると助かります。

回答No.5

yyssaa

補足
この場合、求める曲線は円錐の側面（扇形）にどのように示されているのでしょうか？
簡単なもので構いませんので、「円錐の展開図上に求める曲線が作図された図」のようなものを載せていただけると助かります。
＞概念図です。

回答No.4

naniwacchi

#1です。
確認なのですが、「球がぴったりとはまっている」とはどういう状況を指していますか？
わたしは、図のように「円錐面と球が隙間なく接している」と解釈しました。
この場合には、
　円錐の高さ：Hと
　円錐底面の円の半径：Rと
　球の半径：r

の3つを用いて表すことになります。

位置関係が#2さんや#3さんのように特別なものとなると、その関係により変数が減っていきます。

回答No.3

info222_

添付図を描いてみましたのでご覧ください。

円錐の高さAO=b , 内接球の半径OD=OE=OF=a とすると
母線の長さ AE=AF=√(b^2-a^2)
母線の長さ AB=AC=b^2/(b2-a2)^(1/2)
求める球と円錐が接する曲線は、半径EG=FG=r の円であるから、曲線の長さは円周の長さ2πrです。
△AEG∽△AOEより　AE/EG=AO/OE →　r=EG=AE*OE/AO=(√(b^2-a^2))*a/b

(答)　求める曲線（円）の長さ = 2πr = 2π(a/b) √(b^2-a^2)

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
「曲線」というよりも「円」ですよね。その円の半径が求まればよいわけです。

断面図を考えれば、円錐は二等辺三角形、球は円になるので、
「二等辺三角形の等しい2辺に接するように円があるとき、その円の半径は？」
という問題に置き換えられます。
比の計算で求められますよ。