高校数学の球の問題の別解について 3-18
一辺の長さが1の正四面体の内部にたがいに外接する2つの球P,Qがある、球Pは正四面体の4面全部に接し、球Qは正四面体の3面に接しているものとする
(1)球Pの半径を求めよ
(2)球Qの半径を求めよ
解説は正四面体をOABCとおき、Oから平面ABCに下ろした垂線の足をH,正四面体の1つの面の面積をS,体積をVとする また、球Pの中心をPとおくと4つの四面体POAB,POBC,POCA,PABCが明らかに
合同であり、球Pの半径をpとおくとV=(1/3×S×p)×4=S/3×OH したがってp=OH/4=1/4×√6/3
=√6/12
(2)球Qの中心QはOH上にあるとしてよく、球P,Qの接点を通ってOHに垂直な平面で正四面体をきると図のようになり、このときできるQを含む四面体はOABCと相似である
したがって球Qの半径をqとおくと OH:(OH-2p)=p:q これを解いてq=√6/24
となっていたのですが(1)の球Pの中心をPとおくと4つの四面体POAB,POBC,POCA,PABCが明らかに
合同とありますが、球Pの位置が分からないので、この四面体は合同になるか分からないのではないですか？
(2)は球Qの中心はOH上にしてよいとありますが、何故そんな事が分かるのですか？
Qを含む四面体はOABCと相似というのも何故相似だと言えるのですか？相似が言えた後の式
OH:(OH-2p)=p:qもどこの辺の比から成り立っているのですか？
お礼
ごめんなさい、もうちょっとだけ詳しくお願いできませんか?