サインの用いた三角形の面積

質問

サインを用いた三角形の面積の問題で

ＳＩＮ60°が
どうして２分の√３に
なるんですか？

回答No.9

qwertyk · ベストアンサー

ＯＢじゃなくて、ＡＢでした。

回答No.8

qwertyk

sin60°とは、図のＯＢ／ＯＡのこと。

回答No.7

fxq11011

ＳＩＮ60°に限りません、ＳＩＮ３0°、ＳＩＮ４５°は、即ピタゴラスの定理で計算可能なだけです。
辺の長さが１の正三角形の頂点から垂線を下ろせば、後はピタゴラスの定理が適用できます。

回答No.6

puusannya

sinやcosやtanという三角比は、１番始めは直角三角形で考えます。直角三角形の直角が右下に、そして三角比を求めたい角を左下に来るように置いて、斜辺分の高さでsin,斜辺分の底辺でcos、底辺分の高さでtanを求めると決めます。三角形の置き方を変えてもこの形になるように求める。と数Iの教科書には書かれています。60°は正三角形にありますので、正三角形を縦に半分に切ったときに、右下に直角、左下に60°がくるように置いてください。底辺の長さを１とすると斜辺の長さは２ですね。三平方の定理から高さは√3となります。この三角形でsinを約束どおり求めると、２分の√３になります。

回答No.5

xNekoNyanx

No.1の方が仰る通りで概ねあってると思います。

補足するのであれば、三角関数というのは三角形であれば何でも良いというわけではないことですかね。
厳密には、xy平面上で原点(0,0)と点A(X,Y)を結ぶ直線が「x軸となす角度」をθとし、その斜線の長さ「√(X^2+Y^2)」でXを割ったものがcosθ、Yを割ったものがsinθとなります。
つまり、点(X,Y)からx軸に「垂直に」下ろした点B(X,0)と原点および点Aとの3点で成り立つ「直角三角形」であることが前提です。
要は「三角」とは名ばかりで、必ずしも三角形を定義したものではない、ということですかね。
そうじゃなかったら、θが180°以上になる時の説明がつきません。

このXとYの値を求める時に、θ=60°、垂線のなす角90°、余りの30°で構成される直角三角形は、ふたつあわせれば3つの角度が等しく60°でかつ3つの辺の長さも等しい「正三角形」となることを利用しているわけですね。

ちょっと難しいですが、理解してしまえば公式を覚えるより楽ですし、うっかり忘れてもすぐに求められますので、この際ですからがんばりましょう★

回答No.4

pascal3

計算としては No.1 や No.3 の方が書かれているとおりです。

もうちょっとイメージで納得するには、No.2 の方の書かれているように、
60度の三角定規をもってきて、辺の長さを測ってみると良いかもしれません。
測った結果を、
教科書のどこかにある「直角三角形の辺の長さの比とsinの関係」の図と見比べて、
たしかに sin 60度 が (√3) / 2 つまり 0.866 になることを確かめましょう。

さらに、よく考えてみると、測らなくてもこの値は計算で出せるはずですね。
三角定規を見ながら、計算での求めかたを考えてみて、
そのあとで No.1 や No.3 の方の解答を見て答え合わせをすると良いと思います。

回答No.3

eeb33585

まず三角関数とピタゴラスの定理の理解が必要です。
詳しく言うと
XY座標軸の原点に中心があり、半径＝１の円を書く。
＋X軸から反時計方向に60°傾いた直線（原点を通るもの）を書く。
その直線と円の交点からX軸に垂線をおろす。
こうしてできた直角三角形を二つ合わせると正三角形になります。
（垂線に鏡を立て、そこに直角三角形を写したイメージ）
この正三角形の一辺長さ＝１だから
直角三角形の底辺長さ＝1/2
よって垂線長さ＝√（1^2－(1/2)^2)＝√（3/4)＝√(3)/2
これをSIN60°にすると決めただけです。

斜線（長さ＝1)を60°に傾けたときの垂線の長さ＝SIN(60°）ともいえます。

回答No.2

yukaru

測ったらそうだったというだけです

理由はありません

回答No.1

chie65535

底辺と斜辺に挟まれた角度が６０度の直角三角形を考えましょう。

サインは「斜辺の長さが１の直角三角形の高さ」になります。

「底辺と斜辺に挟まれた角度が６０度の直角三角形」は「正三角形を縦に真っ二つにした形」です。

なので、斜辺が「１」のとき、底辺は「１／２」です。

ここで「ピタゴラスの定理（３平方の定理）」を思い出してみましょう。

「底辺の２乗＋高さの２乗＝斜辺の２乗」です。

底辺が「1/2」、斜辺が「１」だと、高さは幾つになるでしょう？

(1/2)×(1/2)＋高さの２乗＝１×１、です。

式を整理してみましょう。

(1/2)×(1/2)＋高さの２乗＝１×１
1/4＋高さの２乗＝１
高さの２乗＝１-(1/4)
高さの２乗＝3/4
高さ＝√(3/4)
高さ＝√3/√4
高さ＝√3/2

ほら、「高さ＝√3/2（２分の√３）」になったでしょう？