三角比の面積について質問です

質問

三角比の面積で、わからない部分があります。

(1) Ｓ＝2分の1×8×5×sin60°

＝2分の1×8×5×2分の√3

＝10√3

(1)の問題で、何故sin60°が2分の√3になるのでしょうか？
教えてください。お願いします。

回答No.3

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

＞正三角形以外の三角形でも、頂点から底辺へ下した垂線は√3になるのでしょうか？

なりません。

「１辺の長さが２の正三角形ならば、頂点から底辺へ下した垂線が√3になる」のは確実ですが、それ以外は「不定」です。

＞すみません。ピタゴラスの定理が習ってなくてよくわからなくて・・・

「直角三角形では、底辺の２乗＋高さの２乗＝斜辺の２乗になる」が「ピタゴラスの定理」です。「三平方の定理」とも呼ばれます。

http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=LyGmcLSvJg8&feature=endscreen
を見てみましょう。

お礼

正三角形以外の三角形で、頂点から底辺へ下した垂線は√3ならないんですか。 正三角形以外の三角形にも応用できると思ったのですが、残念です。

Wikipediaと、教えてくれた動画を見たら、ピタゴラスの定理を思い付くなんてすごいなと思えました。

捕捉した質問にも回答してくれて本当にありがとうごいました。

回答No.2

chie65536（@chie65535）

＞何故sin60°が2分の√3になるのでしょうか？

三平方の定理は判りますか？

「直角三角形では、底辺の２乗＋高さの２乗＝斜辺の２乗になる」です。

sinθの値が何を表す値なのか判りますか？

「斜辺が１の直角三角形で、底辺と斜辺で挟まれた角の角度がθの時の、三角形の高さ」です。

sin60°の値は「斜辺が１の直角三角形で、底辺と斜辺で挟まれた角の角度が60°の時の、三角形の高さ」です。

この「６０度の直角三角形」は、正三角形を真ん中で縦に２つに分割した三角形です。

元の正三角形の１辺が「１」なら、「６０度の直角三角形」は「斜辺が１、底辺が1/2、高さがｘ」です。

これの２倍の大きさなら、つまり、元の正三角形の１辺が「２」なら、「６０度の直角三角形」は「斜辺が２、底辺が１、高さが２ｘ」です。

「斜辺が２、底辺が１、高さが２ｘ」を「底辺の２乗＋高さの２乗＝斜辺の２乗」に代入すると

１の２乗＋２ｘの２乗＝２の２乗

ですから

１＋２ｘの２乗＝４

です。両辺から１を引くと

２ｘの２乗＝３

になり、両辺の平方根は

√(2xの２乗)＝√３

です。左辺を整理すると

2x＝√３

で、両辺を２で割ると

x＝(√３)／２

です。

ｘは「斜辺が１の時の三角形の高さ」つまり「sin60°」です。

なので

sin60°＝(√３)／２（２分の√３）

になります。

お礼

なるほど！ 良くわかりました。
三角比の面積を求めるのに、垂線の高さを考たほうがいいということは、思い付きませんでした。
長文ありがとうございました！

回答No.1

spring135

要するに一般論としてsin60°＝√3/2　(ルートは3のみにかかる）がわかればよいのでしょう。

一辺が2の正三角形ABCを書いてください。

頂点Aから辺BCに垂線を下し、その足をDとします。

このときBD=DC=1は分かりますか。

正三角形なので三つの角はすべて60°です。

垂線の長さADはピタゴラスの定理により√（AB＾2-BD^2)＝√（2＾2-1＾2）＝√3

は分かりますか。

⊿ABDに注目します。∠ABD=60°

sin60°＝AD/AB＝√3/2

お礼

正三角形以外の三角形でも、頂点から底辺へ下した垂線は√3になるのでしょうか？

すみません。ピタゴラスの定理が習ってなくてよくわからなくて・・・

詳しく教えてくれてありがとうございました。