円の問題なのですが

質問

円Ｏの直径ＡＢと弦ＣＤの交点をＰとし、ＡＢ＝６、ＰＣ＝２、ＰＤ＝３とするとき次の問いに答えなさい。
１、線分ＯＰの長さを求めなさい
２、△ＯＤＣの面積を求めなさい。

わかり易い解答をお願いします。

回答No.2

tomokoich · ベストアンサー

1 △ACPと△DBPにおいて
∠DPB=∠CPA(対頂角)
∠CDB=∠CAB(同一円周角)
∠DCA=∠DBA（同一円周角)
△ACP∽△DBP
OPの長さをXとする
AP=3-x PB=x+3
AP:DP=CP:PB
(3-x):3=2:(x+3)
(3-x)(x+3)=6
-x^2+9=6
x^2=3
OP=x=√3

2 DからOを通り円周に線を引きOと交わる点をEとする
CD=5 DE=6(直径の円周角なので∠DCE=90°）
CE=√(36-25)=√11
△CDE=5×√11×(1/2)=(5/2)√11
△ODC=(5/4)√11

回答No.1

gohtraw

（１）△ＡＰＣとＢＰＤを比較すると
∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＤ
∠ＰＡＣ＝∠ＰＤＢ　（いずれも弦ＢＣに対する円周角だから）
よって二つの三角形は相似で、その相似比は２：３
よってＡＰ：ＰＢ＝２：３

（２）ＤＯを延長して円周との交点をＥとすると、△ＣＤＥは
ＣＤ＝５、ＤＥ＝６、∠ＥＣＤ＝９０°の直角三角形になるので三平方の定理からＥＣを求めると
△ＣＤＥの面積が判り、△ＯＤＣの面積はその１／２です。