積分

質問

x^yをyについて積分します。
このときx^yの積分はx^(y+1)/y+1　+constであっていたでしょうか？
友人の解法はこうだというのですが、自分は高校の時に底がeのものしか習っていないため分かりません。
これであっているのでしょうか？
仮にxをe以外の定数としてみたならば、微分した時に元に戻らないと思うんです。
x^yをyについて積分するとどうなるか、分かる方ご解答お願いします。

ちなみに元々の問題はx^yの[0,1]×[a,b]上の二重積分を求めよという問題です。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

＞＞＞このときx^yの積分はx^(y+1)/y+1　+constであっていたでしょうか？

残念ながら、全然違います。
「＋１」が出現するのは、指数関数ではなくｎ次関数の場合、すなわち、ｙを定数としてｘについて積分するときです。

やってみましょうか。

ｅ^logx　＝　ｘ
ですので、

ｘ^y　＝　（ｅ^logx）^y　＝　ｅ^(ylogx)

ここで、
ｙlogｘ　＝　ｔ
と置けば、
ｄｙlogｘ　＝　ｄｔ

よって、
∫ｘ^y ｄｙ　＝　∫ｅ^t ｄｙ　＝　∫ｅ^t／logｘ ｄｔ
　＝　ｅ^t／logｘ　＋　Ｃｏｎｓｔ．
　＝　ｅ^(ylogx)／logｘ　＋　Ｃｏｎｓｔ．
　＝　ｘ^y／logｘ　＋　Ｃｏｎｓｔ．

お礼

ご解答ありがとうございました。
＞ｅ^logx　＝　ｘ
　ｘ^y　＝　（ｅ^logx）^y　＝　ｅ^(ylogx)
の式変形がポイントなんですね。
納得のいく分かりやすい解答ありがとうございました！