x*y'/y + y*x'/x の積分

質問

' を t による微分だとすると、

「y'/y + x'/x」の積分は、「log y + log x + 定数」ですよね。ここまでは私も分かります。

ところで、x*y'/y + y*x'/x の積分はどうすればいいのでしょうか？

回答No.5

chiaki_primary

No3 No4です。

>∂f/∂x を x/y
>∂f/∂y を y/x
>に置き換えているようなのですが、
>これはなぜなのでしょうか？

積分できないことを説明するためです。

y/x dx + x/y dy …(1)
= ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy …(2)
= df(x,y)
とおければ積分できたことになります。

ですが、(1)から(2)に変形できないのです。
なぜかというと、
y/x = ∂f/∂x
x/y = ∂f/∂y
となるような関数fがないからです。

なぜ無いかというと、

もしあるとすると、以下の式、
∂(∂f/∂x)/∂y …(3)
∂(∂f/∂y)/∂x …(4)
(3)と(4)が等しくなるはずですが、

(3)
= ∂(x/y)/∂y
= -x/y^2
(4)
= ∂(y/x)/∂x
= -y/x^2
なので、(3)と(4)は同じにはなりません。

これで理解できたでしょうか？

回答No.4

chiaki_primary

No3です。
ちょっと回答の日本語、変でしたね。
いそいでいたのですみません。

物理屋なので細かい所はよくわかりません。
厳密な数学の証明が欲しいのでしたら
「全微分」「多変数関数」あたりを調べてください。

いいかげんに説明すると、
df(x,y) = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy
と書けるとすると、
∂(∂f/∂x)/∂y = ∂(∂f/∂y)/∂x
となるはずです。

しかし、今回は
∂(x/y)/∂y ≠ ∂(y/x)/∂x
となっています。

ですので、x、yがこのままの形では
y/x dx + x/y dy をdf(x,y)
とは書けないのです。

しかし、x、yをtの関数として書き下せれば、
変わってきます。

たとえば、
x = t
y = t^2
だと、
y/x dx + x/y dy
= t dx + 1/t dy
= t d(t) + 1/t d(t^2)
= t dt + 2 dt
= (t+2)dt
= d(1/2 t^2 + 2t)
となり、
与式の積分 = 1/2 t^2 + 2t + C
となることが簡単にわかります。

一般に、多変数関数の微分を含む式が与えられたとき、
その式がある関数の全微分であるとは限りません。
全微分であれば変数を変数のまま積分できますが、
全微分で無い場合は書き下さなければ積分できません。
積分できる場合のほうが特殊なんです。

念のため補足すると、
もちろん、
y/x dx + x/y dy = 0
という微分方程式の解が無いと、
いっているわけではありません。

補足

分からないことだらけですみません。

> ∂(∂f/∂x)/∂y = ∂(∂f/∂y)/∂x
> となるはずです。
> しかし、今回は
> ∂(x/y)/∂y ≠ ∂(y/x)/∂x
> となっています。

∂f/∂x を x/y
∂f/∂y を y/x

に置き換えているようなのですが、
これはなぜなのでしょうか？

回答No.3

chiaki_primary

式をみればすぐ分かりますが、
∫(x/y dy/dt + y/x dx/dt)dt
はx、y、tだけでは表記できません。

つまり、x(t)、y(t)をtの関数として書けたり、
x(t)をx(y)、もしくはy(t)をy(x)と書けない限り
解けません。

∂(x/y)/∂y ≠ ∂(y/x)/∂x
であることからもわかります。

補足

>式をみればすぐ分かりますが、

え、そうなのですか！勉強になります。以下、ちょっと教えていただけませんか。（あと書き忘れていましたが、x, y は独立で、ともに tの関数です。）

>∫(x/y dy/dt + y/x dx/dt)dt
>はx、y、tだけでは表記できません。

表記できないと分かるのはなぜなのでしょうか？
∫( dy/dt / y ) dt の場合は lon y と分かるのですが、、、

>つまり、x(t)、y(t)をtの関数として書けたり、
>x(t)をx(y)、もしくはy(t)をy(x)と書けない限り
>解けません。

すみません、ここ、よく分かっていませんでした。もう少し詳しくご教授いただけないでしょうか？

>∂(x/y)/∂y ≠ ∂(y/x)/∂x
>であることからもわかります。

そういう定理があるのですね！これはどういう定理でしょうか？

非常に助かります。ぜひよろしくお願いします。

回答No.2

noname#8027

部分積分を使えばいいのではないでしょうか。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

何で積分するのか（tでいいのでしょうか？）、xとyに関数としての関係はあるのかで変わってくると思います。
xとyが独立なら、それぞれ定数だと思って計算すればいいですが・・・

補足

すみません。
tで積分です。xとyは独立です。