積分因子について

質問

知恵袋でも質問したのですが、回答がこなかったのでこちらで質問します。
答えられる範囲でいいんで回答お願いします。

微分方程式の積分因子による解放について
（x + (x^2 + y^2)x^3)dx + ydy = 0という微分方程式の積分因子を用いた解法について教えてください。

積分因子については、exp((1/2)x^4)ともとまったのですが、その後の計算がよくわかりません。

積分因子をかけることによって、完全微分方程式となって解がはじめて得られるようになると思うので、

積分因子をかけました。

exp((1/2)x^4)(x+(x^2+y^2)x^3)dx+exp((1/2)x^4)ydy

となったのですが、ここから分かりません。

詳しく回答教えていただけるとありがたいです。

それから、完全微分方程式という用語についてなのですが、この完全ってどういう意味なんでしょうか？

完全というのは、解が得られるという意味なのでしょうか？

最初の式ってのは、解が得られないのでしょうか？

ですが、積分因子を用いることによって解が得られるのでしょうか？

よく完全微分方程式は、du=pdx+qdyみたいな形で示されますが、よくこの式の意味するところがわかりません。

u(x,y)という二つの変数をもった関数があったとする。

その関数をxについて偏微分したものが、pを表しているのでしょうか？

pはdu(x,y)/dxというのが省略されてpとかいているだけなのでしょうか？

多変数関数、偏微分についてもくわしく勉強したことがなく、いきなり微分方程式を独学で勉強しているので、謝った考えた方をしている可能性もあり、きちんと理解しておきたいので、よろしくお願いします。

できれば詳しく解説してくださるとありがたいです

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

いやいやいやいや. その式を x や y で微分して所与の条件を満たしますか?

今の例だと
u_y = exp((1/2)x^4)y
を y で積分することにより, f(x) を (x の) 任意関数として
u = (1/2)exp((1/2)x^4)y^2 + f(x)
と書ける. 今度はこれを x で微分して
u_x = exp((1/2)x^4)(x+(x^2+y^2)x^3)
になるように f(x) を求める... 求まるかどうかは知らんけど....

探せばもっと一般的なやりかたも見つかると思うよ.

回答No.1

Tacosan

「完全微分方程式」ってのは「全微分の形になっている」ということ. u(x, y) の全微分が
du = u_x(x, y) dx + u_y(x, y) dy
なのはいいよね?

で最初に戻ると,
exp((1/2)x^4)(x+(x^2+y^2)x^3)dx+exp((1/2)x^4)ydy = 0
が完全微分方程式なら
u_x = exp((1/2)x^4)(x+(x^2+y^2)x^3),
u_y = exp((1/2)x^4)y
であるような関数 u(x, y) が存在するはず. それを求めればいいだけ.

補足

これはそのまま積分すればいいんですか？
変数分離での解法しか習得してないので、よく分からないです。

∫exp((1/2)x^4)(x+(x^2+y^2)x^3)dx+∫exp((1/2)x^4)ydyをすればいいのですか？
だとしてもどうやって求めればいいかわかりません。