積分について

質問

4-x^2
∫　2√(4-x^2-y)dy
0
この積分の計算の計算方法は以下のようなやり方でいいのでしょうか？

4-x^2-y　＝u　とおき,両辺をｙで微分して
-1dy=duとし、
y=0のときu=4-x^2
y=4-x^2のときu=0
よって

4-x^2
∫　2√(4-x^2-y)dy
0

　0
＝∫　-2√(u)du
　4-x^2
　　　　　　　　　　　u=0
=[(-2)(2/3)u^(3/2)}]
　　　　　　　　　　　4-x^2
=(4/3)(4-x^2)^(3/2)　（終わり）

一つ疑問なのが、
“4-x^2-y　＝u　とおき,両辺をｙで微分して-1dy=duとする”
この表現について、∂を使った偏微分にしなくていいのでしょうか？
ｘとｙがあるので、dではいけないようなきがするのですが、、、
もしこの解法が正しいのなら
∂ではなくｄにしている理由を教えてください。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

解法は正しいですね。
4-x^2
∫　2√(4-x^2-y)dy
0
の積分の積分変数はdyのｙであり、xはこの積分では被積分関数では定数として扱われます。dyのyが積分変数という事です。
このことは積分の上限と下限にxが含まれている事から明らかです。
２変数関数f(x,y)の微分と混同してはいけません。

重責分
∬f(x,y)dxdyにおいてf(x,y)が変数分離できないときに
新しい変数(u,v)に変数変換して
∬g(u,v)dudvに変換する際は
∂を使います。

お礼

解答ありがとうございます。
この場合、uはｙの関数、
つまりu(y)であって、u(x,y)ではないので
“ｄ”になるんですね！
理解できました。
ありがとうございます。

回答No.1

Kules

え～と見る限りはyは「xのみの関数」ですよね？
例えばｙがｘとｚの関数でそれをｘで微分するのなら偏微分になりますが、
ｘのみの関数なら普通の微分でいいはずです。
解き方も厳密にはチェックしていませんが大体の流れはあっています。

お礼

解答ありがとうございます。
この問題の場合は、uはyのみの関数と考えればいいのですね！
参考になりました。
ありがとうございます