数IAの問題が分かりません(涙)

質問

数IAの問題が分かりません(涙)

四角形ABCDは円に内接し、AB=2,BC=√6,CD=CA=4,
cos∠ABC=-√6/4
cos∠ADC=√6/4
AD=2√6
である。

また、△ABC,△ACD,△ABD,△BCDの面積をそれぞれＳ1,Ｓ2,Ｓ3,Ｓ4とすると、
Ｓ1/Ｓ2=？,Ｓ3/Ｓ4=？
であるから
Ｓ1/Ｓ3=？,BD=？
である。

？の求め方を知りたいのですが、全部地道に解いていくしかないのでしょうか？
簡単に解ける方法は何かありますか？
教えて下さい(>_<)

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

簡単かどうか判りませんが、
　ＡＢ、ＢＣ、ｃｏｓ∠ＡＢＣが判るのだから、△ＡＢＣの面積は判りますね。△ＡＣＤについても同様です（この二つについては三辺が判っていることからも面積は出ます）。
　次に、△ＡＢＤとＢＣＤですが、ＡＢＣＤは円に内接するので∠ＤＡＢ＋∠ＢＣＤ＝π、よってｃｏｓ∠ＤＡＢ＝－ｃｏｓ∠ＢＣＤ、さらにｓｉｎ∠ＤＡＢ＝ｓｉｎ∠ＢＣＤです（円に内接する四角形なのでその頂角＜πとなるため）。そこでｓｉｎ∠ＤＡＢ＝ａとおいて
△ＡＢＤの面積＝ａ＊ＡＢ＊ＡＤ÷２
△ＢＣＤの面積＝ａ＊ＢＣ＊ＣＤ÷２
この和は△ＡＢＣと△ＡＣＤの面積の和に等しいことから立式すればａが求められ、三角形の面積も判ります。
　ＢＤの長さは△ＡＢＤ、△ＢＣＤについて余弦定理を使えばよろしいかと。

お礼

ありがとうございました(^^)
なんとか解決できました！
丁寧にありがとうございます(*^^*)

回答No.2

spring135

cos∠ABC=-√6/4
cos∠ADC=√6/4

は辺の長さから計算されるものであり、余分です。

あえて余分なことを記載して作成されているということは極めて初歩の
練習問題であることを示唆しており、

＞全部地道に解いていくしかないのでしょうか？
＞簡単に解ける方法は何かありますか？

角度・面積等を一つづつ正弦公式、余弦公式等を用いて求めていくための練習です。
簡単に解ける方法を求めることは問題の趣旨に反します。

お礼

やっぱり地道にやるしかないんですね(^^)
解答ありがとうございます！

頑張って解いてみます!!ありがとうございました(*^^*)