数学

質問

ＡB＝ＡＣ＝ＡＤ、BＣ＝ＣＤ＝ＤB＝4√3の四面体ABCDがある。
点Ｏを中心とする球Ｓが四面体ＡBＣＤに内接している。すなわち、球Ｓが四面体ＡBＣＤのすべての面に接している。
また、辺BＣの中心をMとし、球Ｓと△ＡBＣ、△BＣＤとの接点をそれぞれＥ、Ｈとすると
cos∠ＨＡＭ3/√10である。
なお、直線ＡＨは△BＣＤと垂直に交わり、直線ＡM、ＤMはそれぞれ点Ｅ、Ｈを通っている。

とあり、ＭＨを求めるんですが、回答にＨは△BＣＤの重心とあります。これはどうしてですか

よろしくお願いします！

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>回答にＨは△BＣＤの重心とあります。これはどうしてですか

>ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ、BＣ＝ＣＤ＝ＤＢ
なので
対称性から接点Ｈは、頂点Ａから底面ＢＣＤに下ろした垂線の足（ＡＨ⊥△ＢＣＤ）であり、垂線ＡＨ上にＯがあります。
その垂線の足Ｈは△ＢＣＤの重心であるだけでなく、内心、外心、垂心でもあるからです。

このことは覚えておいてください。