数学

質問

一辺の長さが６ｃｍの正八面体である。点Ｇを辺ＢＣの中点に、点Ｈを辺ＡＢ上にＡＨ：ＢＨ＝１：２になるようにとる。このとき次の問いに答えなさい。

（１）正八面体の体積を求めなさい
（２）ＧＨの長さを求めなさい。
（３）正八面体に内接する球の体積を求めなさい。
（4）3点Ｅ、Ｈ、Ｇを通る平面でこの4立体を切断した。このとき、切断面の面積を求めなさい。
という問題です。

詳しくに解き方を教えてください

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

(1)について
正八面体を４頂点を含む平面で切り、さらに、その面に
垂直でその面の対角線を含む面で切ると、正八面体は
同じ大きさの４個の三角錐に分けられます。一つの
三角錐の体積は、(6*6/2)*(6/√2)*(1/3)=36/√2と
なるので、求める正八面体の体積は4*36/√2=72√2
から、７２√２cm^3≒１０１．８cm^3となります。

(3)について
正八面体に内接する球の半径をrとします。この球の中心
と６頂点を直線で結ぶと、同じ大きさの８個の三角錐が
出来ます。球の中心から正八面体の各面に下ろした垂線
の長さは内接球の半径rですから、一つの三角錐の体積は、
正八面体の１面(一辺の長さが６ｃｍの正三角形)の面積
掛けるrの３分の１=r*(6*3√3)/(2*3)=3√3rになります。
この８倍が(1)で求めた正八面体の体積と等しいので、
8*3√3r=24√3r=72√2となり、r=√6となります。
従って求める内接球の体積は、4πr^3/3=8√6πから
８√６π(cm^3）≒６１．６cm^3となります。

なお、(2)(4)については、頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、点Ｅを確認して
から改めて回答します。

回答No.2

ferien

>一辺の長さが６ｃｍの正八面体である。点Ｇを辺ＢＣの中点に、点Ｈを辺ＡＢ上にＡＨ：ＢＨ＝１：２
>になるようにとる。このとき次の問いに答えなさい。

点ＡＢＣＤを正方形の部分と仮に考えました。上側の頂点をＰ，下側の頂点をＰ’とします。
（今、説明上このような図として考えてみます。）

>（１）正八面体の体積を求めなさい

正八面体は、底面が正方形の正四面体を２つくっつけたものと考えて、
正四面体の体積×２として求めます。

底面は＝６×６
頂点Ｐから底面に垂線をおろして、垂線の足をＱとします。ＰＱが正四面体の高さです。
△ＰＡＱについて考えます。Ｑは１辺６の正方形の対角線の交点と一致します。
だから、ＡＱ＝６ルート２／２＝３ルート２　（対角線の長さの半分）　ＰＡ＝６
△ＰＡＱは直角三角形なので、三平方の定理より、
ＰＱ^2＝ＰＡ^2－ＡＱ^2
　　　＝６^2－（３ルート２）^2
　　　＝１８
よって、ＰＱ＝３ルート２
正八面体の体積＝正方形×高さ×（１／３）×２
　　　　　　　＝６×６×３ルート２×（１／３）×２
　　　　　　　＝７２ルート２　cm^3　　　　

>（２）ＧＨの長さを求めなさい。

>点Ｇを辺ＢＣの中点に、点Ｈを辺ＡＢ上にＡＨ：ＢＨ＝１：２とする……（１）
１辺６の正方形ＡＢＣＤと考えると、ＧＨは直角三角形ＧＢＨの斜辺になります。
（１）より、ＢＨ＝４，ＧＢ＝３、だから三平方の定理より、
ＧＨ^2＝４^2＋３^2＝２５
よって、ＧＨ＝５ｃｍ

>（３）正八面体に内接する球の体積を求めなさい。

正八面体に球が内接するということは、球が各側面に接すると言うこと。
球の中心をＯとします。（点Ｑと一致します。）
側面は１辺が６の正三角形だから、その中央の線分（正三角形の高さ）に向けて
球の中心Ｏからおろした垂線の長さが、球の半径になります。

正三角形ＰＡＢを考えます。ＰからＡＢへ垂線をおろし交点をＲとすると、
ＰＲ＝正三角形ＰＡＢの高さ＝３ルート３

直角三角形ＰＯＲについて考えます。ＰＯ＝３ルート２、ＲＯ＝３
球の中心ＯからＰＲに垂線をおろし、交点をＯ’とします。ＯＯ’＝ｒ（球の半径）です。

△ＰＯＲと△ＰＯ’Ｏは相似です。
（角Ｐ共通、９０度の角があるから、２つの角が等しい）だから、
ＰＲ：ＰＯ＝ＲＯ：ＯＯ’　３ルート３：３ルート２＝３：ｒ　
球の半径ｒ＝３×（３ルート２）／３ルート３＝ルート６

球の体積＝（４／３）×π×（ルート６）^3
　　　　＝８ルート６π　ｃｍ^3

>4）3点Ｅ、Ｈ、Ｇを通る平面でこの4立体を切断した。このとき、切断面の面積を求めなさい。

点Ｅについて分からないので、解けませんでした。教えて下さい。

回答No.1

ferien

正八面体には点が６つありますが、どこがＡ，Ｂ，Ｃなのか分かりません。
点Ｅはどんな点ですか？

教えて下さい。