変わった立体

質問

添付した図の体積を求める際、わからない点があるので質問します。問題は、
添付した図において、3辺AB,DC,EFは互いに平行であり、底面ABCDは長方形である。AB=9,BC=8,EF=3,EA=ED=FB=FC=13とする。
このとき、この立体の体積をもとめよ。つぎに、四角形ABEFの対角線AFの長さと四角形ABEFの面積を求めよ。また∠AFC=αとして、cosαの値を求めよ。
です。
解説では、点E、Fを含む線分EFに垂直な平面で、立体を切った時の切り口をそれぞれ図のように、
△EE'E''、△FF'F'' としE'E''とF'F''の中点をそれぞれG、HとおくとGH=EF=3したがって
AE'=BF'=(1/2)(AB-GH)=3、またGE'=(1/2)BC=4、AG=√(AE'^2+GE'^2)=5、したがってEG=√(EA^2-AG^2)=12、
柱体EE'E''-FF'F''の体積は8*12*（1/2）*3=144で残り2つの四角錐の体積はそれぞれ、(1/3)*3*8*12=96。よって立体の体積は、144+96*2=336と計算されています。
分からないのはAE'=BF'=(1/2)(AB-GH)=3のところです。三角形EAE'と三角形FBF'が合同を使うと思いますが。条件がわかりません。EAとFBの辺の長さ13を使うと思うのですが、角度は計算できないし等しいかもわかりません。
解説で納得がいかないのはこの点だけで、それが正しいとして、その他の長さ、面積、cosαの求め方の解説はわかりました。
どなたかGH=EF=3したがってAE'=BF'=(1/2)(AB-GH)=3、を解説してくださいお願いします。

回答No.1

watecolor1969 · ベストアンサー

『点E、Fを含む線分EFに垂直な平面で、
立体を切った時の切り口をそれぞれ図のように、
△EE'E''、△FF'F'' とし
E'E''とF'F''の中点をそれぞれG、Hとおく』（※）

上記より
△EE'E''、△FF'F''はそれぞれ、線分EFに垂直、
即ち線分ABに垂直
かつ△EE'E''//△FF'F''なので、

GH=EF=3(=E'F'=E''F'')・・・(1)

また、EE'=FF'・・・(2)
∠EE'F'=∠FF'E'=π/2(=90°)
　∴∠EE'A=∠FF'B=π/2(=90°)・・・(3)

EA=FB(=13)・・・(4)

(2)(3)(4)より△AEE'≡△BFF'(直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい)

∴AE'=BF'=(AB-E'F')/2
=(AB-GH)/2　　(∵(1)より)

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まあ、そもそも問題文と(※)から、
(四角錘E-AE'E''D)≡（四角錘F-CF''F'B）
であるから、
GH=EF=3(=E'F'=E''F'')
AE'=BF'
∴AE'=BF'=(1/2)(AB-GH)=3
がいえるのだけど。

お礼

直角三角形の合同を、証明してくださりありがとうございます。