数学！！

質問

この問題教えてください～(>_<)！

一辺の長さが1の正四面体ABCDがある。
(1)辺BCの中点をMとし 角ADM=θと
したとき cosθの値は？
(2)頂点AからMDへ引いた垂線をAHと
するとき AHの長さは？
(3)正四面体ABCDの体積は？

たくさんあるんですが よろしくお願いします(>_<)！

回答No.4

QoooL

＃２について
誤　ｃｏｓθ＝ＢＨ／ＡＢ
正　ｃｏｓθ＝ＤＨ／ＡＤ
でした。
すみません。

回答No.3

QoooL

＃２です。

言い忘れましたけど、

　　次から質問のタイトルは、もう少し「内容がわかるもの」にしていただけると助かります。

数学の質問であることは、数学カテゴリーに出されている時点でわかりますから。

それと、横槍（ヤリ）ですみませんが、＃１の回答者さんの
　　AM^2 = AH^2 +(MD/3)^2
というのは、
　　Ｈが△ＤＢＣの重心である
ということを前提で進めていらっしゃるので、
質問者さんの今の段階では避けた方が無難だろうと個人的に思います。

「重心となることを知っている」というよりは、「結果的に重心だということが確かめられた」という方が、問題の意図に合っている気がするからです。
　　学校の先生に、「最初っから　２：１　ってことを知ってるってことで進めて良いですか」と聞いてみてください。

あと、この問題は、「角度に最初に注目させる」という、少し珍しいアプローチなので、
（１）の答えさえわかれば、私が書いた連立方程式は解く必要ありません。

だって、cosθがわかれば、sinθ（θは鋭角）もわかりますよね！

だから、
ＡＨ＝　１・sinθ
で解いた方が早いです。
「垂線」て書いているから、直角三角形はすぐ見つかるわけだし。

どちらにしても、正確な図・自分の欲しい図を描く練習が必要ですよ！
（聞いて、あ～、と思うだけでなく。）

回答No.2

QoooL

解き方は＃１の回答者さんの通りでいいんですけど、

正確な図を描くのが肝要なので補足しておきます。

ちなみにベクトルを使う必要はないです。
（ベクトルを使うと、Ｈが△ＤＢＣの重心であること（ＤＨ：ＨＭ＝２：１）が確かめられる。）

正四面体のこの問題は本当によく出ます。
（１）からいきなりθを聞くのはわりと珍しいですけど。

＃１の回答者さんのおっしゃる通り、余弦定理を使うしかないでしょう。
ただ、よく出される形式では、

ＭＨ＝ｘ　、ＡＨ＝ｙ　とおき、三平方の定理から　ｘ、ｙを先に求めさせる方が多いので、
ＢＨ＝　√3　/3
がわかった後に
ｃｏｓθ＝ＢＨ／ＡＢ　で求められます。
余弦定理をド忘れした人の裏技、として覚えておくと良いでしょう。

左の立体の中の斜線部分を右に描きました。ぜひ自分で描く練習もしてください。本当によく出るので。
どっちを正面に向けるか、なども、問題が早く解けるか時間がかかるかにかかわってきますね。

△ＡＭＨに注目して
ｙ^2＝(√3　/2)^2 - ｘ^2
（三平方の定理の変形）

△ＡＢＨに注目して
ｙ^2＝1^2 - ((√3　/2) -ｘ )^2
（三平方の定理の変形）

連立して解いてまず
ｘ＝　√3　/6
代入して
ｙ＝　√6　/3

＃１の回答者さんと同じ答えです。分母有理化した方が良いでしょう。

（３）は、
三角錐の体積＝　底面積ｘ高さｘ（1/3）
です。

正三角形の　１：２：√3　も利用しています。
ＤＭは　ＢＭを　√3　倍　するだけ　ですね。
このＤＭを　△ＤＢＣ　の「高さ」　として　△ＤＢＣ　の面積を求められます。

正四面体だから四面全て同じ形ですよ。
△ＡＢＣ　の面積を求めても良いです。

回答No.1

NemurinekoNya

この問題は、ひょっとして、ベクトルや内積とかを使って解かなければならないのだろうか？

（１）問題を読んだだけで、AM = MD =√3/2、AD = 1。
あとは、余弦定理を使えば、角度θは求まる。

（２）AM^2 = AH^2 +(MD/3)^2
AM = MD = √3/2
3/4 = AH^2 + 1/12
AH^2 = 9/12-1/12 = 8/12 = 2/3
AH = √(2/3)

（３）1辺の長さが1の正三角形の面積は√3/4
体積 = 1/3・AH・√3/4 = 1/3・√(2/3)・√3/4 = √2/12

こんな回答は、許されるのだろうか？