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数学
平面上の点A、B、Cの座標をそれぞれ(0、a) (b,0)(c,0)とする。 ただし、a>0,b<0,c>0とする。 1、三角形BCHの垂心が点Aとなるような点Hを求めよ。 2、線分HAの中点をM、線分BCの中点P、線分BHの中点をQとする。∠PQM=90であることを示せ。 3、点P,Q,Mを通る円の中心Nの座標を求めよ。 4、点P,Q,Mを通る円は線分ABの中点Rおよび原点を通ることを示せ。 答えは1、H(0、-bc/a) 2,略 3,N(b+c/4,1/4(a-bc/a)) 4,略 すみませんが、計算過程を教えてください
- ukitakenoko
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1. Aが三角形BCHの垂心となるには、点Hはy軸上にある必要あり。 なぜなら、BCに対して垂直で、かつAを通らねばならないから。 そこで、H(0,h)とすると、Aが垂心であることから、以下の式が成り立つ。 (BAの傾き)x(CHの傾き)=-1 ⇒ (-a/b) x (-h/c) = -1 (CAの傾き)x(BHの傾き)=-1 ⇒ (-a/c) x (-h/b) = -1 どちらの式からも、h=-bc/a が求まる。 よって、H(0,-bc/a) 2. QMとPQそれぞれの傾きの積が -1 となることを示せばよい。 条件から、 M(0, (a^2 - bc)/2a ) P( (b+c)/2 , 0 ) Q( b/2 , -bc/2a ) QMの傾き=(計算してね。)= -a/b PQの傾き=(計算してね。)=b/a よって、積が-1となり、∠PQM=90°となる。 3. 設問2.から ∠PQM=90°ということが分かっているので、 PMはPQMを通る円(三角形PQMの外接円)の直径である。 よって、中心NはPMの中点である。 ゆえに、N((b+c/4) , (a^2-bc)/4a ) 質問者さんの示した答えと、y座標の表記が違いますが、計算してみれば同じことが分かるはず。 4. PMがPQMを通る円(三角形PQMの外接円)の直径であることは設問2.で分かる。 原点がPQMを通る円(通ることを示すにあたって、 原点をOとすると、角POMが90度であることを示せばよいが、 POMが直交しているのはあきらか(X軸とY軸は直交)なので、原点は通る。 中点RがPQMを通る円を通ることを示すには、 角PRMが90度であることを示せばよい。 即ち、RMとPRが直交することを言えばよい。 R(b/2, a/2)なので、 RMの傾き=(計算してね。)= c/a PRの傾き=(計算してね。)= -a/c よって二つの傾きの積がー1になることが分かる。 ゆえに角PRMが90度であるので、 Rも点P,Q,Mを通る円を通る。
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