以下の問題が与えられたのですが、

質問

以下の問題が与えられたのですが、
(4)という定義なしに答える方法はあるのでしょうか？
本問では(4)という定義はありません。

どなたか教えていただけると助かります。

質量m、角振動数ωの1次元調和振動子の
ハミルトニアンは(1)式で与えられる。
ここでp（＾は省略します）は運動量演算子、
xは位置演算子であり、交換関係[x,p]=xp-px=ih/2πを満たす。
また、(2)、(3)で定義される2つの演算子を考える。

演算子N=a†aの固有値をnとし、
その規格化された固有状態を|n>とする。
すなわちN|n>=n|n>,<n|n>=1である。
次の2つの関係式が成り立つことを示し、
係数A,Bを求めよ。

a†|n>=A|n+1>, a|n>=B|n-1>

ただしA,Bは正の実数とする。

回答No.1

cocacola2010 · ベストアンサー

えらくヒントや誘導が少ない問題ですね（汗）
一般解である(4)式使わなくてもいけます。

交換関係[x,p]=xp-px=ih/2πを満たす
がまずヒントです。
交換関係[a,a†]=aa†-a†a
を計算してみてください。xp-pxがわかっているので求まるはずです。
[a,a†]=aa†-a†a=1になりましたか？

a|n>が固有関数である保障はありませんので
今のところは正体不明な関数、|?>=a|n>とでも置いておきましょう。
演算子Nを作用させてこの関数の形が変わらなければ固有関数であることがいえますね。
（Nという表記が自然数の様に見えてしまいミスリーディングなので注意してください。
例えば、N|n>=n|n>, 　N|n-1>=(n-1)|n-1>,　　N|2>=2|2> です。念のため。）
よってN|?>,つまりNa|n>をぐりぐり計算していけばいいわけです。
途中の変形では　N=a†a、aa†-a†a=1の二つを使いましょう。
N|?>=(n-1)|?>になりましたね？

よって|?>という関数は固有関数なわけです。
さらに演算子Nの作用によって(n-1)という固有値が生じたということは
その関数は|n-1>もしくはその定数倍であるはずです。
つまりa|n>=B|n-1>です。
a†|n>=A|n+1>の式も同様にして示してください。

係数Bを求めます。
nと係数Bに関係がなんとなくありそうです。
<n|N|n>の値を2通りの方法で計算してみましょう。
<n|N|n>=n<n|n>=nこれは簡単ですね。
<n|N|n>=<n|a†a|n>で計算してみましょう。こっちはちょっと難しいです。
<n|N|n>=<n|a†a|n>=B<n|a†|n-1>のその後がちょっと困りますね。

ここで全体の複素共役をとって見ましょう。
ブラケット表記ではわかりにくいので定義どおりに書くと、例えば<n|H|m>は
<n|H|m>=intφn† H φm dr　なわけですがこれの複素共役をとると
<n|H|m>†=(intφn† H φm dr)†=intφn H† φm† dr=intφm† H †φn dr=<m|H†|n>
つまり
<n|H|m>†=<m|H†|n>
という感じの変形になるので、
B<n|a†|n-1>の複素共役をとってやれば
B†<n-1|a|n>=B†B<n-1|n-1>=B†B
もう一度複素共役をとってやれば、
BB†つまり|B|^2
結局
<n|N|n>=|B|^2=nですから
B=√n

Aに関しても同様にしてください

お礼

大変ご丁寧な回答を頂き、ありがとうございます。

無事理解できました。
感謝いたします。