偏微分の問題です

質問

偏微分の問題です

数学の中間試験の過去問で疑問にぶち当たりました。
u=x+y v=x-2y のとき、du/dx dx/du を求めなさいという問題なのですが、（dは全てラウンドディーです）答えではそれぞれ1と2/3となっています。1つ目の式のyを定数とみてdu/dxが１というのは分かります。また、yに二つ目の式を代入し、変形してから偏微分すると、2/3に確かになります。しかし、一つ目の式をx=u-yと変形してdx/du=1ではダメなのでしょうか。

このように、2つ式が与えられたときに、dx/duまたは、du/dxが何を定数とみなして偏微分するかによって値が異なってしまうとおもいます。上の場合では、xをuとvの式であらわしてｖを定数とみなして偏微分する場合と、xをuとｙの式であらわしてｙを定数とみなして偏微分する場合とでは答えが変わります。
どうしたらいいのか見当もつきません。どうか皆様ご教授ください。
以下問題を添付します。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

u=x+y、v=x-2y　のu,vを関数とみなして記述すると、
u(x,y)=x+y
v(x,y)=x-2y
であり、
∂u/∂x　とは、∂u(x,y)/∂xのことです。

同様に、
∂x/∂u　とは、∂x(u,v)/∂uのことです。

たしかに、xとvをuとｙの式であらわして、
x(u,y)=u-y
v(u,y)=u-3y
として、
∂x/∂u　を、∂x(u,y)/∂uのとみなせば、
∂x/∂u=1
となりますから、あながち間違いとは言い切れませんがうがちすぎです。

出題文を正確に記すなら、
∂x(u,v)/∂u、∂x(u,v)/∂uを求めよ
とすべきですが、そこらへんは受験者が出題者の意図を読み取るべきでしょう。

お礼

非常に分かりやすい回答ありがとうございました。やはり出題の意図をよむしかないのですね。おっしゃる通りに考えるのが確かに自然ですね。(u,v) (x,y) などを付けてくれると非常に納得がいきます。しかしやはり、出題が少し不親切な気がします。ありがとうございました。

回答No.2

So_Very_Goo

たしかに、@x/@u = 1 のような気がします。u=x+y を x=u-y と書き換え、y が u と無関係なら、@x/@u=1 ですが、仮に y が u より導かれる関数値だとすると、@x/@u = 1 + @y/@u となります。
同様に右側の式で、x = (2u+v)/3 は、v が u と無関係なら、@x/@u=2/3 ですが、仮に v が u より導かれる関数値だとすると、@x/@u=2/3+(2/3)・@v/@u です。

答えが２通りも、出てきますね。

ところで、模範解答の一番下の行の、一番右の四角は、なんですか？　　・・・・・@x/@u=2/3□ と書かれていますが、四角の中に、何かの式や数字を入れるのですか？

お礼

回答ありがとうございました。そのような考え方をするのが自分だけではないということが分かってかなり安心しました。ありがとうございました。

補足

四角は回答の終了を意味しているようです。　。のような物みたいです。