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連立微分方程式の問題
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>vを消去してuの微分方程式に書き換えたところ d4y/dx4(u)+(4a^2)(d4y/dx4)(u)=0 間違いです。そもそもどこからyが出てくるのですか。 u,vはxのみの関数のようなので偏微分そのものが無意味です。 微分を基礎から見直してください。 正しくは最初の式をxで2回微分して d^4u/dx^4+2a^2d^2v/dx^2=0 d^2v/dx^2に2番目の式を代入して d^4u/dx^4+4a^4u=0 これは4階の斉次微分方程式。解をe^(px)とおいて 上の式に代入します。この辺は微分方程式の教科書を見て納得してください。 p^2=±2ia^2(iは虚数単位) p=±(1±i)a sin,cosを用いて書くと u=e^ax(c1sin(ax)+c2cos(ax))+e^(-ax)(c3sin(ax)+c4cos(ax)) a>0とすると x→±∞でuが0のためにはe^axがかかる部分は不適よって u=e^(-ax)(c3sin(ax)+c4cos(ax)) du/dx=-ae^(-ax)(c3sin(ax)+c4cos(ax))+e^(-ax)(ac3cos(ax)-ac4sin(ax)) x=0では du/dx=-ac4+ac3=0 ゆえに c3=c4=c du/dx=-2cae^(-ax)sin(ax) vの式から v=(-1/2a^2)d^2u/dx^2 d^2u/dx^2=-2ca^2e^(-ax)[sin(ax)+cos(ax)] v=(-1/2a^2)d^2u/dx^2=ce^(-ax)[cos(ax)-sin(ax)] dv/dx=c[-ae^(-ax)[cos(ax)-sin(ax)]+ce^(-ax)[-asin(ax)-acos(ax)] =-2ace^(-ax)cos(ax) x=0でdv/dx=-2ac=-τ c=τ/2a 以上より u=(τ/2a)e^(-ax)(sin(ax)+cos(ax)) v=(τ/2a)e^(-ax)[cos(ax)-sin(ax)]
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