連立常微分方程式

質問

x(t)をn次元ベクトル、A(t)をn次正方行列として、
dx/dt=A(t)x (1)
なる連立微分方程式を考えます。

関数の行列V(t)の各列ベクトルが式(1)の解で、V(t)が正則であるとき、
V(t)を基本行列と呼びます。

V1(t),V2(t)が式（１）の基本行列のとき、定数の正則行列について
V1(t)・T=V2(t) (2)
が成り立つことを証明するには、
d(V1^{-1}・V2)/dt=0 (3)
を示せばV1^{-1}・V2=T(定数行列)となって、(2)を証明できるのですが、
どうすれば(3)が示せるのかわかりません。

回答No.1

nubou · ベストアンサー

０＝（Ｖ１＾（－１）・Ｖ１）’＝（Ｖ１＾（－１））’・Ｖ１＋Ｖ１＾（－１）・Ｖ１’
従って
（Ｖ１＾（－１））’＝－Ｖ１＾（－１）・Ｖ１’・Ｖ１＾（－１）
従って
（Ｖ１＾（－１）・Ｖ２）’
＝（Ｖ１＾（－１））’・Ｖ２＋Ｖ１＾（－１）・Ｖ２’
＝－Ｖ１＾（－１）・Ｖ１’・Ｖ１＾（－１）・Ｖ２＋Ｖ１＾（－１）・Ｖ２’
＝－Ｖ１＾（－１）・（Ａ・Ｖ１）・Ｖ１＾（－１）・Ｖ２＋Ｖ１＾（－１）・（Ａ・Ｖ２）
＝－Ｖ１＾（－１）・Ａ・Ｖ２＋Ｖ１＾（－１）・Ａ・Ｖ２
＝０

お礼

お礼が遅れてすみません。
V1'=AV1などに気づきませんでした。
Ｖの各列ベクトルは解なのだから、そうなるんでしたね。
どうもありがとうございました。