• 締切済み

積分

積分の問題なのですがわからないので 教えてください！ (1) ∫sin2x・cos4xdxなのですが 置換積分をすれば解けると思うのですが…。 　　何をtとおいて計算すればいいのですか??? 　　ヒントをください！！

みんなの回答

  • rnakamra
  • ベストアンサー率59% (761/1282)
回答No.3

#1のものです。 誤変換していました。 (誤)非積分関数 (正)被積分関数

  • egarashi
  • ベストアンサー率40% (34/83)
回答No.2

別解になるかな？ 倍角の公式を用いる。 cos4x=2(cos2x)^2-1 sin2x・cos4x=2sin2x(cos2x)^2-sin2x んで、この式の第1項はcos2x=tとでも置いて置換積分 第2項は普通に積分 でもまあ、積和の方がいいかと思います。

  • rnakamra
  • ベストアンサー率59% (761/1282)
回答No.1

置換積分ではなく、非積分関数を変形してときます。 三角関数の積→和の変換で変形します。 sin2x・cos4x=(1/2){sin(2x+4x)+sin(2x-4x)}=(1/2){sin6x-sin2x} と変形すればこの関数は積分できると思います。

ryo3ya
質問者

お礼

非積分関数ですかー。 わかりました。 ありがとうございます！

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 積分の問題です。

    これらの問題を置換積分で解く問題です。わからないので、よろしくお願いします。 (1)∫√(1-x^2)/xdx　　t＝√(1-ｘ＾2)と置いて解くようです。 (2)∫x*√(ｘ+3)dx (3)∫cos^2(x)dx (4)∫1/(∛(x)+1)dx よろしくお願いします

  • 積分の問題です。先ほども質問させてもらいましたが、

    積分の問題です。先ほども質問させてもらいましたが、 自分なりに解いた答えと、皆さんの答えが違っていました。 どこが違うのか、考え方が違うのか教えてください。 ※パソコンでの書き方が慣れていないため、かっこの付け方や 　途中式で見ずらいものがあると思います。お許しください。 次の定積分を求めよ。 　(1)∫(0～π/2)sin^2xcos^3xdx 　　　=∫(0～π/2)sin^2(1-sin^2)cosxdx 　　　=∫(0～π/2)(sin^2-sin^4)cosxdx 　　　=∫(0～π/2)sin^2(cosx)-sin^4(cosx)dx 　　　=[(1/3)sin^3x-(1/5)sin^5x](0～π/2) 　　　=(1/3-1/5)-0 　　　=2/15 　(2)∫(0～1)xtan^-1xdx 　　　t=tan^-1xとおくとx:0→1のときt:0→π/4 　　　　x=tant dx=1/(cos^2t)dt 　　　　∫(0～1)xtan^-1xdx 　　　　=∫(0～π/4)tant/cos^2tdt 　　　　=∫(0～π/4)(sint/cost)(1/cos^2t)dt 　　　　=∫(0～π/4)sint/cos^3tdt 　　　　=∫(0～π/4)(cos^-3t)(sint)dt 　　　　=[(1/2)cos^-2(t)](0～π/4) 　　　　=(1/2)(1/(1/√2)^2)-(1/2)(1/(1^2) 　　　　=1-(1/2)=1/2 と解きました。長くなりましたが、よろしくお願いします。

  • 積分

    ある問題を解いていたら∫「０→π/3」tan^2xdxまで計算できて、その後は.... =∫「０→π/3」sin^2x/cos^2xdx =∫「０→π/3」1-cos^2x/cos^2xdx =∫「０→π/3」(1/cos^2)-1dx まで解きましたがそのあと行き詰まりました 多分途中のやり方が悪いと思いますが、どこがいけないのでしょうか？

  • 数III　定積分の問題

    以下の定積分の問題が上手く問けません。 ∫{0→π/2}√(1＋sinx)dx というものなのですが、 1＋sinx=tとおいて置換積分をすると dx=dt/cosx となって、tとxが一緒に出てきてしまいってどうしたら良いか分からず、sinx=tとおいても同じような結果になってしまいました。 π/2－x=tとおいてもsinがcosに入れ替わっただけになってしまい、煮詰まってしまいました。 ヒントや考え方の指針でも良いので教えて頂けると嬉しいです。

  • ある積分計算の違和感について質問です。

    ある積分計算の違和感について質問です。 【問題】 関数sin(x)cos(x)を区間[-π,π]で定積分した値を求めよ。 Int_[-π,π]{sin(x)cos(x)}dx 以上の計算について、次の置換積分による計算は数学的に正しいでしょうか？ 積分区間が0になってしまうところに違和感がありますが、 正しく導けている？？？ 数学的に何が起きているのでしょうか？ 【解答】 t=sin(x)とおく。 このとき、dt = cos(x)より sin(x)cos(x)dx = t dt また，x : -π → π のとき t : 0 → 0 したがって、 Int_[-π,π]{sin(x)cos(x)}dx =Int_[0,0]{t}dt =0 sin(x)cos(x)が奇関数であることや、２倍各の公式sin(x)cos(x)=sin(2x)/2を利用した方法でも答えは０であることはあってるのですが…。 よろしくお願いします。

  • 定積分の値

    ∫_(0^1)xtan^(-1)xdx の値を求めたいのですが ∫_(0^1){(x^2)/2}'tan^(-1)xdx　にして [{(x^2)/2}tan^(-1)x]_(0^1) - ∫_(0^1){(x^2)/2}*{1/(1+x^2)} ここから先で詰まってしまいました。 t=1+x^2　として dt=2xdx　として置換積分をしてみようとしましたが、 分子にxが残ってしまい困っています。 ヒントをよろしくお願いします(m_m)

  • 三角関数の積分計算ですが…

    ∫sin^2(x)dx の積分計算をしたいのですが、半角（２倍角）の公式を使わずに、という制限つきでした。 t=tan(x) とおいて、sin^2(x)=t^2/(1+t^2) dx=dt/(1+t^2) という形にして解こうと思ったのですが、∫(t^2/(1+t^2)^2)dt となってっしまい解けませんでした。他にも sin^2(x)を(√1-cos^2(x))*sin(x) として、cos(x)で置換積分を試みましたが、 √(1-t^2)がでてくるため無理でした。どうすればうまくいきますか？ ちなみに必要かどうかはわかりませんが、積分区間は 0→2π でした。

  • 数III　定積分

    In=∫[0→π/2] sin^n xdx, Jn=∫[0→π/2] cos^n xdx　　(n=0,1,2…）とする。 In=Jnを示せ。 cosx=sin(π/2-x)　だから、　π/2-x=t、　dx=dt x：0→π/2 t：π/2→0 定積分の値は積分定数の取り方によらない。つまり、 Jn=∫[π/2→0] sin^n tdt = ∫[π/2→0] sin^n xdx=In これで合ってますか？

  • 初歩の三角関数積分について

    高校数学をやり直している者です。 y=sin^2(x)の積分は、倍角の公式を用いて、 sin^2(x)=(1-cos(2x))/2として進めるのが定番となっていますが、 y=t^2, t=sin(x)とした置換積分の手法では、正答と結果が違います。 y=t^2, t=sin(x) Y=∫t^2 dx, dx=(1/cos(x))dt Y=(1/cos(x))∫t^2 dt Y=(1/cos(x))*(t^3/3) Y=(1/cos(x))*(sin^3(x)/3) この置換積分のどこがいけないのでしょうか？

  • 置換積分

    (1-x^2)^(1/2) の不定積分の求め方が分からずに困っています。x = sin(t)の置換でいいんでしょうか。∫cos^2(t)dt　となって止まってしまったのですが。。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する