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三角関数を含む難しい定積分の求め方の急なお願い。
問題は、 ∫(0,x)｛1/(√2+cosθ）^2｝dθ ＜積分範囲：0からxまで＞ 三角関数を含む積分で困ったときは、tan(x/2)=t の置き換えでトライすることにしていたのですが、泥沼に入ってしまいました。 この置換ではなく、他に変形・置換など有効な解法はないものでしょうか。急ぎで恐縮なのですが、どうかよろしくお願いします！また、前述のｔの置換で進められるものかどうか、ヒントや見込みだけでもいただけると、嬉しいです。
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積分すると F(x)=∫(0,x)｛1/(√2+cosθ）^2｝dθ =(2√2)arctan｛(√2-1)tan(x/2)｝-｛sin(x)/(√2+cos(x))｝ となります。 [検算] F ’(x) = 1/(√2+cos(x) ）^2 となるので合っていると確認済み。
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