積分の問題で解けません。

質問

積分の問題で解けません。
解説お願いします。

∫1/cos^4xdx

∫1/sin^4xdx

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

cos x = sin(x + π/2) を利用したら、片方解けば十分です。

sin x と cos x の分数式を x で積分する際の万能薬として、
t = tan(x/2) で置換積分する方法が有名ですが、
質問の積分の場合、t = tan x でも行けます。

1 + (tan x)^2 = 1/(cos x)^2 と
dt/dx = 2/(cos x)^2 より、

∫{ 1/(cos x)^4 } dx = (1/2) ∫{ 1 + t^2 } dt です。
積分を実行してから、t を tan x に戻せばオシマイ。

回答No.3

hungvan7189

∫1/cos^4x dx = ∫(1/cos^2x)(1/cos^2x)dx
= ∫(1+tan^2x)d(tanx)
= tanx + (tan^3x)/3

∫1/sin^4xdx も以上と同じくすれば解けると思う。

回答No.1

mikeyan

exp(ix)= cosx + isinx （i:虚数）
を利用したら両方とも一度に解けると思います。