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内積って、、、
noname#101199の回答
う~ん…高1の方ですよね…どこまで話せばいいのか…。 とりあえず最初に堅苦しい難しい話をしましょう。理解できなくていいです。 いきなり突飛なことを聞きますが、長さとはなんですか・・・? 長さのない空間って考えられますか?? とりあえず、高校と大学では、内積に対するスタンスが正反対です。 高校では長さを使って内積を定義していますよね。 本来は、内積を使って初めてベクトル空間に長さという概念が導入されます。 この空間を内積空間と呼びます。 高校範囲では最初からベクトル空間に長さが導入されているので、内積の重要性がわかりませんが、本当は内積を導入して初めて長さが生まれてくるのです。 言い方を変えると、数学の幾何的な意味としては、和と差を実数倍"のみ"で定義されているベクトルに、内積を導入することで、大きさや距離といった"測量"に関するものが導入されます。内積とシュワルツの不等式を用いて角度の概念も導入されていきます。 とりあえずまだまだ堅苦しいことは言えますが、高校生には不要かもしれないのでここまでにしましょう。 とりあえずは、a↑・a↑=|a↑|^2、と高校では当たり前のように教えられると思いますが、これが内積の本質的意味を含んでいるんですね。 が、こんなこと高校生にはどーでもいいですよね。 私も工学部なんで、私にとってもどーでもいい話です。 次に高校生でもわかるであろうイメージを書きます。こっちの方が重要かもしれません。 正射影ってわかりますか? 個人的には、幾何的にイメージできるベクトルの範囲であれば、正射影した方向の成分だと考えるのがお勧めです。イメージがわきやすい気がします。 図を使って解説できないので、高校の教科書に書いてある図をよく見て考えてみてください。考え方を書いておきます。 内積はa*b*cosですよね。これを(a*cos)*bとみてみてください。 a*cosっていうのは、aベクトルのb方向の成分ですよね? こんな感じで内積は、もう一方のベクトルに正射影した成分を考えることができます。内積をとるベクトルが単位ベクトルだったら、完全に正射影成分ですね。 こう考えれば、物理でいう、内積=仕事 というのも当たり前の話ですね。(高1は物理まだやってないかも^^;) また、めっちゃアバウトにいうと、内積は, 「2つのベクトルがどのくらい似ているのか。どれくらい近いベクトルなのか」 を表しています。 cosの項からわかると思いますが、2つのベクトルが近い方向(0度)を向いていたら大きくなって、全然関係ない方向(90度)を向いていたら小さくなってしまいますよね。 こんな感じで、"似ている度合い"を表せます。 わかりにくかったらごめんなさい。
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