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漸化式

b1=1、bn+1=bn+6n+1を満たす数列{bn}について (1)一般項bnを求めよ (2)初項から第n項までの和Snを求めよ という問題です。恥ずかしながら、この漸化式がどのような数列を意味しているのかすら分かりません。階差数列かな?とは思ったのですが、思っただけで考え方がストップしてしまっています。非常に簡単な質問かもしれませんが、どなたか教えて下さい。お願いします。

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ti-zuさん、こんばんは。 >私はb{n+2}=b{n+1}+6n+7からbn+1=bn+6n+1を引いてみたんです。 そしたら混乱してしまって・・・ストップしてしまったわけです。 出来れば、私の考え方の間違いも指摘して頂けると嬉しいです。お願いします。 なるほど、なるほど。 そうすると、 b{n+2}-b{n+1}=b{n+1}-b{n}+6・・・(☆) と、なすはずですよね?これでもいいですよ。 b{n}の階差数列をa{n}とすると、a{n}=b{n+1}-b{n}ですから、 (☆)の式は、a{n}であらわすと、 a{n+1}=a{n}+6 となるのが、分かると思います。 このことは、a{n}という数列は、前の項に、6ずつ加えていった数列ということになりますね? つまり、それは等差数列だということです。 ここで、b{n+1}=b{n}+6n+1 で、n=1とすると、b{2}=b{1}+6+1=8 ですから、a{1}=b{2}-b{1}=8-1=7 となるので、a{n}は、初項7、項差6の等差数列であることがいえます。 この解き方でもいいですね!! 要は、b{n}の階差数列であるa{n}が求まればいいのです。 あとは、階差数列の公式から b{n}=Σ(k=1,n-1)a{k} +b{1} という公式を用いれば、シグマの計算をしていくだけになります。 頑張ってください!!

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  • 回答No.4
  • itsuki
  • ベストアンサー率31% (12/38)

 こんばんは、基礎的なことをお聞きしますが、おこらないで下さい。  等差数列、階差数列はご理解していますでしょうか? わからない所から、解説していきたいので

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質問者からの補足

どこまで理解しているかお知らせした方が良いですよね。 等差数列、階差数列がどのようなものであるかは理解できています。この問題でいきずまった所は#3さんの補足欄に簡単ですが、書いています。

  • 回答No.3

ti-zuさん、こんにちは。 >b1=1、bn+1=bn+6n+1を満たす数列{bn}について (1)一般項bnを求めよ b{n+1}=b{n}+6n+1 b{n+1}-b{n}=6n+1 b{n+1}-b{n}=a{n}←階差数列をとると、その一般項a{n}は a{n}=6n+1=6(n-1)+7 となって、階差数列a{n}は、初項7、公差6の等差数列になっていることが分かります。 さて、ここで階差数列ですから、 b{n}=Σ{k=1,n-1}a{k}+b{1} =Σ{k=1,n-1}(6k+1) +1 =6Σ{k=1,n-1}k +Σ{k=1,n-1}1 +1 =6n(n-1)/2 +(n-1) +1 =3n(n-1) +(n-1)+1 =3n(n-1) +n =n(3n-3+1) =n(3n-2)・・・・一般項b{n}が求まりました。 >(2)初項から第n項までの和Snを求めよ 初項から、第n項までの和は、 S{n}=Σ{k=1,n}b{k} =Σ{k=1,n}{k(3k-2)} となるので、これはΣの計算をすればいいですね。 やってみてくださいね!頑張ってください。

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質問者からの補足

>b{n+1}=b{n}+6n+1 b{n+1}-b{n}=6n+1 b{n+1}-b{n}=a{n}←階差数列をとると、その一般項a{n}は a{n}=6n+1=6(n-1)+7 となって、階差数列a{n}は、初項7、公差6の等差数列になっていることが分かります。 恥ずかしいですが、この部分から分かりません(泣) 私はb{n+2}=b{n+1}+6n+7からbn+1=bn+6n+1を引いてみたんです。そしたら混乱してしまって・・・ストップしてしまったわけです。 出来れば、私の考え方の間違いも指摘して頂けると嬉しいです。お願いします。

  • 回答No.2

>階差数列かな? そうですね. n≧2のとき b[n]=b[1]+Σ_{k=1~n-1}(6k+1) b[1]で成り立つか確認のこと.

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  • 回答No.1

b{n} =b{n-1}+6(n-1)+1 b{n-1}=b{n-2}+6(n-2)+1 . . . b{2} =b{1} +6*(1)+1 ----------------------- 両辺の総和をとると b{n}=b{1}+Σn+(n-1) っていう感じでいけませんか?

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