コーシーリーマンの関係式に関して

質問

http://www.k2.dion.ne.jp/~yohane/000suugaku31.htm

コーシーリーマンの関係式の導出はここにも書いていますように
どの方向から微分しても同じ値になるという正則性から導出されますが、
この条件の意味するところは何なのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

>....... どの方向から微分しても同じ値になるという正則性から導出されますが、この条件の意味するところは何なのでしょうか？

…との質問に逆らうようで申し訳ないんですけど、究極の意味はやはり「どの方向から微分しても同じ値になる」ことです。
引用は実軸と虚軸に沿った微係数の一致ですが、
　x=Δrcosθ, Δy=Δrsinθ
と極座標表示した証明をみれば、「どの方向から微分しても同じ値」をより実感できるでしょう。
　　　　　　　↓
　http://lemonchord.chu.jp/math/cauchy-riemman.html
>コーシー・リーマンの関係式

お礼

ありがとうございます。

教えて下さったページも見てみましたが、やはりよく分かりませんでした。

どの方向から微分しても同じ値になる、というのが正則であるということに相当し、
正則である、ということは、関数のどの点でも何回でも微分可能であるということに相当するわけですが、
つまりはコーシー・リーマンの関係式が成り立つ関数では、どこでも何回でも微分可能である、ということが言いたいということで良いのでしょうか？

それと、なぜこのようなことが言えるのでしょうか？

回答No.5

noname#101087

コーシーの積分定理までいかないと、納得し易い説明にならないと思います。
手前には、ここで説明しきれんので、ギブアップなのです…。
　　　↓ (参照)
　http://www.is.titech.ac.jp/~sadayosi/course/past/comp04/section6and7.pdf
>6 複素積分
系(グルサーの定理) : 正則関数は無限回微分可能で，導関数も正則。

回答No.4

rabbit_cat

＞どの方向から微分しても同じ値になると、
＞１階微分可能な関数＝∞階微分可能な関数 になる理屈を教えて下さい。
教科書に必ず書いてあるはずだからまず教科書を読みなさい、と言いたいところですが。

証明は、
正則→コーシーの積分表示→解析性（∞階微分可能）の証明
ていう流れでやるのが普通でしょう。
後半部分の証明
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Proof_that_holomorphic_functions_are_analytic&redirect=no

回答No.3

rabbit_cat

＞どの方向から微分しても同じ値になる、というのが正則であるということに相当し、
＞正則である、ということは、関数のどの点でも何回でも微分可能であるということに相当するわけですが、
＞つまりはコーシー・リーマンの関係式が成り立つ関数では、どこでも何回でも微分可能である、ということが言いたいということで良いのでしょうか？

そうです。複素関数の微分には、どの方向から微分しても同じ値になるという強い制限がかかっているので、１階微分可能な関数＝∞階微分可能な関数 になってしまうのです。

お礼

どの方向から微分しても同じ値になると、
１階微分可能な関数＝∞階微分可能な関数 になる理屈を教えて下さい。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

noname#101087

余りにもハイクラスなハナシになりそうなので、ギブアップします。

とりあえず下記でもご覧になりながら、ほかのかたのレスをお待ちください。

　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E9%96%A2%E6%95%B0
>正則関数