積分について

質問

積分がにがてで，どうしてもわからないので教えてください．
∫(-∞→∞)exp[(2ρuv-v^2)/2]dv
を積分するのですが，私の答えは，exp[(ρ^2・u^2)/2]になるのですが，答えが合いません．教えてください

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＞私の答えは，exp[(ρ^2・u^2)/2]になるのですが

　ということは、与式が　exp[(ρ^2・u^2)/2] ∫[-∞→∞] exp[-(v-ρu)^2/2]dv と書きかえられるところまではＯＫですね。
　あとは、この式の定積分の部分だけを求めていきます。

１）　変数変換　ｘ＝v-ρu　を行います。
　　∫[-∞→∞] exp[-(v-ρu)^2/2]dv
　＝∫[-∞→∞] exp[-x^2/2]dx
　＝２∫[0→∞] exp[-x^2/2]dx　（∵被積分関数は偶関数なので）

２）　定積分∫[0→∞] exp[-x^2/2]dx　は、２乗して計算します。（定石です。）

　　[∫[0→∞] exp[-x^2/2]dx]^2
　＝∫[0→∞] exp[-x^2/2]dx　∫[0→∞] exp[-y^2/2]dy
　＝∫[0→∞]∫[0→∞] exp[-(x^2+y^2)/2]dxdy

　ｘｙ直交座標系をｒθ極座標系に座標変換（変数変換）します。

　＝π/2 ∫[0→∞] exp[-r^2/2]r dr
　＝π/2

　∴　∫[0→∞] exp[-x^2/2]dx＝√(π/2)

３）　求めた値をそれぞれ代入します。
　（与式）＝exp[(ρ^2・u^2)/2]×２√(π/2)
　　　　　＝√(2π) exp[(ρ^2・u^2)/2]

お礼

ありがとうございます

回答No.6

arrysthmia

ミスプリ陳謝 :
e~-(原点からの距離)~2 の 全平面についての積分を、
直交座標と極座標の二通りに、

お礼

ありがとうございます

回答No.5

arrysthmia

暗記は、忘れるもの。公式は、間違えるもの。
公式暗記に頼るのは、危ういですね。
今回のミスは、その実例でしょう。

∫exp(-x~2)dx の計算は、
e~-(原点からの距離) の全平面についての積分を、
直交座標と極座標の二通りに、反復積分で表す
のが定石です。

印象的な解法ですから、
一度自分で計算を実行しておけば、
公式の棒暗記と違って忘れるにくいでしょう。

お礼

ありがとうございます

回答No.4

info22

v-ρu=tとおくと
∫(-∞→∞)exp[(2ρuv-v^2)/2]dv
=exp{(ρ^2*u^2)/2}∫(-∞→∞)exp[-(t^2)/2]dt
=exp{(ρ^2*u^2)/2}*√(2π)

次式は正規分布確率密度関数の性質の公式です。
{1/√(2π)}∫(-∞→∞)exp[-(t^2)/2]dt=1…(●)

>私の答えは，exp[(ρ^2・u^2)/2]になるのですが，
∫(-∞→∞)exp[-(t^2)/2]dt=1
としていませんか？ (●)の公式をちゃんと知っていれば
√(2π)が出てくると思います。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

spring135

∫(-∞→∞)exp[(2ρuv-v^2)/2]dv
=exp((ρu)^2/2)∫(-∞→∞)exp[-(v-ρu)^2/2]dv
は導けてると思います。ρuが有限である限り積分は（2π）＾0.5
よって答えは質問者の解に（2π）＾0.5を掛けたものです。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

rnakamra

∫[-∞,∞]exp([2ρuv-v^2]/2)dv
=∫[-∞,∞]exp([-(v-ρu)^2+ρ^2*u^2]/2)dv
=∫[-∞,∞]exp([-(v-ρu)^2]/2)*exp([ρ^2*u^2]/2)dv
=exp([ρ^2*u^2]/2)∫[-∞,∞]exp([-(v-ρu)^2]/2)dv
=exp([ρ^2*u^2]/2)∫[-∞,∞]exp([-v^2]/2)dv
(積分範囲が(-∞,∞)ですのでρuずらしても結果は変わらない)
となります。
後ろの積分の値はπ^0.5となりますので、この分が異なります。

お礼

ありがとうございました