積分計算について

質問

こんにちは、ここでは始めて質問させていただきます。

大学の講義で固体比熱の平均エネルギー<ε>の積分計算をやっているのですが、計算方法がわからず苦戦しております。

∫∫∫m(u^2+v^2+w^2)exp{-m(u^2+v^2+w^2)/2kT}/2 dudvdw

参考書に載っている計算方法は途中式をだいぶ省略しており、私にはさっぱり理解できません。
どうかよろしくお願いします。

回答No.2

kup3kup3

こんにちは。回答になってないかもしれませんが・・・

まず　∫∫∫m(u^2+v^2+w^2)exp{-m(u^2+v^2+w^2)/2kT}/2 dudvdw　

=∫∫∫m(u^2)exp{-m(u^2+v^2+w^2)/2kT}/2dudvdw ・・・(1)

+∫∫∫m(v^2)exp{-m(u^2+v^2+w^2)/2kT}/2dudvdw　・・・(2)

+∫∫∫m(v^2)exp{-m(u^2+v^2+w^2)/2kT}/2dudvdw　・・・(3)

　　　となる。

　(1)について考える。まず

　exp{-m(u^2+v^2+w^2)/2kT}/2

=exp{-m(u^2)/2kT}/2×exp{-m(v^2)/2kT}/2×exp{-m(w^2)/2kT}/2 ・・・(#)に注意。

よって　

∫∫∫m(u^2)exp{-m(u^2+v^2+w^2)/2kT}/2dudvdw

=∫∫∫m(u^2)[exp{-m(u^2)/2kT}/2×exp{-m(v^2)/2kT}/2×exp{-m(w^2)/2kT}/2]dudvdw

=∫m(u^2)exp{-m(u^2)/2kT}/2du{∫exp{-m(v^2)/2kT}/2dv}{∫exp{-m(w^2)/2kT}/2dw}

と逐次積分にします。

そこで　Maxwellの速度分布の積分の計算などの本などをみてみれば、

　　∫[-∞,∞]m(u^2)exp{-m(u^2)/2kT}/2du ・・・(4)と

　　∫[-∞,∞]exp{-m(u^2)/2kT}/2du ・・・(5)

　　の２つが求まればできると思います。

　　(5)は　たぶん　∫[-∞,∞]exp{-(r^2)/2}dr=√π　？(怪しい)　・・・(6)というような

　　ガウス分布の計算に帰着できると思いますが、忘れてしまったので自身がないです。

　　(4)は　∫[-∞,∞](r^2)exp{-(r^2)/2}dr ・・・(7)　の計算に帰着できると思いますが

　　自信がないです。統計力学,電磁気学などの本を見てこのタイプの積分(6)(7)などを計算すると

　　できるかなと思います が・・・

　　手元に本がないので分かりません。回答にならず、すみません。

回答No.1

siegmund

【方針１】

(1)　　∫∫∫m(u^2+v^2+w^2)exp{-m(u^2+v^2+w^2)/2kT}/2 du dv dw
の m(u^2+v^2+w^2) をばらして，
(2)　　(m/2)∫∫∫u^2 exp{-m(u^2+v^2+w^2)/2kT} dudvdw
　　　= (m/2)∫u^2 exp{-mu^2} du × ∫exp{-mv^2} dv × ∫exp{-mw^2} dw
と他に同形の２項とする．
(2)の積分は３つに分解されたので，できますよね．

【方針２】
３次元極座標を使い，
(3)　　u^2+v^2+w^2 => r^2
(4)　　du dv dw => 4π r^2 dr
とする．

お試し下さい．

お礼

素早い解答ありがとうございました。
とても助かりました。