カノニカルでの古典粒子の内部エネルギー

質問

以下の問題が解けずに困っています。

N個の同種粒子からなる一次元の粒子系を考える。ハミルトニアンが
H=1/(2m)Σp^2+U(r)
(p、rにはiのラべリングがありますが省略します)
古典カノニカル統計を用いることにする。ポテンシャルエネルギーUがar^2/2の項を含み、かつrがこれ以外に現れないとき、この項には平衡状態で内部エネルギーkT/2が割り当てられることを示せ。

という問題です。

調和振動子のカノニカル統計の内部エネルギーなどを参考に本やインターネットなど調べ計算したのですが、どうしても内部エネルギーがkTになってしまい1/2が出てきません。

私がやった計算は、

一粒子状態和は
z=1/h∬dpdr exp[-β(p^2/2m+ar^2/2)]=2π/(βh)(m/a)^(1/2)
よって内部エネルギーは
ϵ=-∂Inz/∂β=1/β=kT

という感じです。

聞きたいのは、

1．問題の「この項に割り当てられる」内部エネルギーというのが、一粒子についての内部エネルギーという解釈で合っているのかどうか。

2．E=-∂InZ/∂βの式は全系の状態和Zと内部エネルギーEについての式だと思うのですが、上で私が書いたように一粒子についても使えるのかどうか。（ほかに一粒子についてわからずとりあえず使って計算してみました…）

3．ほかの教科書などでも、古典カノニカルで内部エネルギーに1/2がついているものが見当たらなかったのですが、この問題はどう解くのか。

ほかにもいろいろと間違っているところはあると思うのですが、指摘していただけると助かります。

回答No.1

siegmund

> 1．問題の「この項に割り当てられる」内部エネルギーというのが、
> 一粒子についての内部エネルギーという解釈で合っているのかどうか。

「この項には」というのは U(r_i) という意味です(ラベリングを明記した)．
つまり，１粒子当たりのポテンシャルエネルギーの統計平均値．

> 2．E=-∂InZ/∂βの式は全系の状態和Zと内部エネルギーEについての式だと思うのですが、
> 上で私が書いたように一粒子についても使えるのかどうか。（ほかに一粒子についてわからずとりあえず使って計算してみました…）

１粒子でも使えます．
正確には「１粒子当たりでも」というべきでしょうけれどね．
こうやって求めた内部エネルギーは運動エネルギーの平均値とポテンシャルエネルギーの平均値の和になっています．
ですから求めたものは U(r_i) の平均値ではありません．

運動量が p，位置が r であるような状態の実現確率 P(p,r)が
(1)　　(1/h) exp[-β(p^2/2m+ar^2/2)]
に比例するというのですから，
U(r) = ar^2/2 の期待値は
(2)　　<U(r)> = ∫dp dr P(p,r) U(r) / ∫dp dr P(p,r)
です．
割り算は確率を１に規格化するため．
(2)から単純計算で
(3)　　U(r) = 1/2β = kT/2
が得られます．

全く同様に運動エネルギーの平均値も
(4)　　<p^2/2m> = ∫dp dr P(p,r) (p^2/2m) / ∫dp dr P(p,r) = kT/2
と求められます．

１自由度当たり kT/2 の平均エネルギーというエネルギー等分配の法則ですね．

お礼

ありがとうございます！早い回答なうえ詳しく教えていただき非常に助かりました。
平均値の和がkTだったのですね。等分配法則は以前習ったはずなのにすっかり忘れていました…。
もう一度そのあたりを含め復習したいと思います。
言い回しについてもご指摘ありがとうございます。もっと本など読んで適切に書けるようになりたいと思います！
回答ありがとうございました！