ゴムの内部エネルギーとエントロピーの問題

質問

ゴムの温度(T)と張力(f)の関係を調べると、
f=AT (A>0)
となった。

この時、ヘルツホルムの自由エネルギーを利用して導いた、
f=(∂U/∂L)_T - T(∂S/∂L）_T 　　
※　_Tは温度一定の意味
のエネルギー項、エントロピー項を求めよ。

という問題です。
内部エネルギー項は温度に依存し、エントロピー項は長さLとともに減少するというのは、見つけたのですが、それをどのように利用すれば良いのかがわかりません。

ご教授よろしくお願いします。

回答No.8

hitokotonusi

時間が出来たので、#7の内容を一応書いておきます。ヘルムホルツの自由エネルギー全微分式

dF = -SdT + fdL

から

f = (∂F/∂L)_T = (∂U/∂L)_T - T (∂S/∂L)_T

マックウェルの関係式

(∂S/∂L)_T = -(∂f/∂T)_L

を使うと

f = (∂U/∂L)_T + T (∂f/∂T)_L

これから、エネルギー弾性は

(∂U[T]/∂L)_T = f[T]- T (∂f[T]/∂T)_L

後の都合上、温度を[T]で表しています。

次に伸び一定の条件の張力-温度曲線f=f(T)が求められているとして、
これの温度Tでの接線の方程式を求めると、接線の式の変数をtとして

y(t) = f(T) + (∂f[T]/∂T)_L (t - T) = { f[T] - T(∂f[T]/∂T)_L } + (∂f[T]/∂T)_L t

下がってこの接線のy切片は{・・・}の部分で

y(0) = f[T] - T(∂f[T]/∂T)_L = (∂U[T]/∂L)_T

となります。したがって接線y(t)を温度0まで延長してy切片を求めると温度Tの時のエネルギー弾性成分が求められます。ANo.3で書いた実験事実は、この結果を利用して導き出されたものです。

張力温度曲線がf(T) = A+BTのような直線のときはf(t)がそのまま接線の式になりますから、Aがエネルギー弾性、BTがエントロピー弾性です。

数学的にきちんと証明しろと言われればこうなりますが、こんなことを長々とやらなくても、弾性について正しく理解できていれば、エネルギー弾性なら定数項を必ず持ちますから、f(T)がf(T)＝ATと与えられれば、定数項がありませんからエネルギー弾性がないことは自明です。それがANo.3です。

回答No.7

hitokotonusi

いだから、数学的に張力温度曲線の接線のy切片がエネルギー項だから、f-Tが直線で定数項がない時点でもう自明なんですよ。

回答No.6

NemurinekoNya

(∂U/∂L)_T = 0
- T (∂S/∂L)_T = AT
は正しいんですよ。

ただ、数学的に、
f = (∂U/∂L)_T - T (∂S/∂L)_T
から、
こう結論するのは間違い。かなり乱暴。

で、
(∂U/∂L)_T = 0なのは、マクスウェルの関係式（全微分条件）を用いると、証明できます。
#2で書いたのは、その一例です。

回答No.5

hitokotonusi

絶対0度で0になる(エネルギー)弾性力とか聞いたことないでしょ。
一般にエネルギー弾性は温度依存性は小さくほぼ定数。

仮にあるとしても，普通は負の依存性。これは温度が上がることで，乱れが生じ，原子間距離が広がることでバネ定数が小さくなることによる。だから温度に比例する項があるとしてもA - BTの形。

いずれにしても定数項がないということはエネルギー弾性はないと判断できる。

と，思う。

回答No.4

NemurinekoNya

なぜ、自明？

(∂U/∂L)_T = BTだったら？

(∂U/∂L)_Tが温度Tに依存しない、という仮定は入っていないじゃないですか。

回答No.3

hitokotonusi

長さをLとすると

dF = -SdT + fdL

から

f = (∂F/∂L)_T

ここでヘルムホルツの自由エネルギーが

F = U - TSであることを使うと

f = (∂U/∂L)_T - T (∂S/∂L)_T

これとf=AXを見比べれば

エネルギー弾性項　(∂U/∂L)_T = 0
エントロピー弾性項　- T (∂S/∂L)_T = AT

自明じゃないですか？

実際，ゴムの場合，張力の大半がエントロピー弾性であるという実験結果があります。伸びが小さければ，エネルギー弾性ほぼ0。エネルギー弾性がある場合でも，エネルギー弾性は温度依存性はないか，測定できないくらい小さい。

回答No.2

NemurinekoNya

#1です。

ちなみに、
～～～～～～～
Fをヘルムホルツの自由エネルギーとすると、
F = u - Ts
dF = du - Tds - sdT = Tds + fdL - Tds - sdT = fdL - sdT

f = (∂F/∂L)_T
-s = (∂F/∂T)_L

∴　(∂f/∂T)_L = -(∂s/∂L)_T = A　　　・・・（全微分の条件）

du = Tds + fdL
(∂u/∂L)_T = T(∂s/dL)_T + f = -AT + AT = 0
～～～～～～～～
とかやらないとダメなんで。

回答No.1

NemurinekoNya

こんばんは。

「f=(∂U/∂L)_T - T(∂S/∂L）_T」
から、
「内部エネルギー項は温度に依存し、エントロピー項は長さLとともに減少する」
ということを、どのようにして導いたのか、教えていただけませんか。

まさか
～～～～～～～
f = ATだから、
　AT = (∂U/∂L)_T - T(∂S/∂L）_T
よって、
　(∂U/∂L)_T = 0
　T(∂S/∂L）_T = -AT　→　(∂S/∂L）_T = -A
～～～～～～～
というようなことはやっていませんよね。