<mv^2/2>を求める

質問

こんばんは。熱力学での質問です。
∫exp(-ax^2)dx=(π/a)^1/2・・・・・・・・（ⅰ）
∫x^2exp(-ax^2)dx=a^-3/2(π/4)^1/2・・・（ⅱ）
ρ(0)=π^-3/2(m/2kT)^3/2・・・・・・・・（ⅲ）
が与えられた状態で、
<mv^2/2>=∫∫∫(mv^2/2)ρ(0)exp(-mv^2/2kT)d^3v・・・・（ⅳ）
を求めよ、という問題で、（ⅳ）を変形して
(m/2)ρ(0)∫∫∫v^2 exp(-mv^2/2kT)d^3v　とし、
（ⅱ）でv=x , a=m/2kT　として、（ⅱ）、（ⅲ）を用いて（ⅳ）を計算したところ、答えがどうしても
(kT)^3/2m^2
となってしまい、公式の<mv^2/2>=3kT/2
と一致しません。どこで間違えたか分からず困っています。何度か計算してみたのですが、ただの計算ミスでしょうか…？
どなたか回答よろしくお願いいたします。

回答No.1

htms42 · ベストアンサー

（１）積分区間
　　　(ⅰ)、(ⅱ)の積分の積分区間は－∞～∞です。
　　　(ⅳ)の∫ｄｖの積分区間は０～∞です。

（２）3重積分→1重積分
　∫∫∫ｄ^3ｖ［　　］＝∫４πｖ^２ｄｖ［　　］
従って(ⅱ)ではなくて(ⅴ)は必要です。
∫x^2exp(-ax^2)dx=a^-3/2(π/4)^1/2・・・（ⅱ）
∫x^4exp(-ax^2)dx=(3/2)a^-5/2(π/4)^1/2・・・（ⅴ)

（３）（参考）積分変数
　　　∫∫∫ｄｘｄｙｄｚ→∫４πｒ^２ｄｒ

お礼

お礼が大変遅くなってしまいすみませんでした。早くて丁寧な回答ありがとうございます！
（３）は特に参考になりました！無事解決しました♪
どうもありがとうございました！