積分の計算を教えてください。

質問

4π(m/2πkT)^(3/2)∫[0,∞]V^4exp(－mV^2/2kT)dV
＝(3kT/m)となるようなのですが、途中計算を教えていただけませんか。よろしくお願いいたします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞4π(m/2πkT)^(3/2)∫[0,∞]V^4exp(－mV^2/2kT)dV
＞＝(3kT/m)
置換積分です。
（√m/2kT）Ｖ＝ｔとおくと、（√m/2kT）ｄＶ＝ｄｔ，Ｖ^2＝(2kT/m)ｔ^2，ｄＶ＝(√2kT/m）ｄｔ
Ｖ：0→∞のとき、ｔ：0→∞
｛4π(m/2πkT)^(3/2)｝・(2kT/m)^2・(√2kT/m）・∫[0、∞]ｔ^4・exp^(-t^2)ｄｔ
ここで、∫[0、∞]ｔ^4・exp^(-t^2)ｄｔ＝3√π/8なので、
＝｛4π(m/2πkT)^(3/2)｝・(2kT/m)^2・(√2kT/m）・（3√π/8）を約分して、
＝(3kT/m)
積分については、
∫[0→∞]ｔ^n・exp^(-t^2)ｄｔ＝（ｎ！√π）／｛２^(n+1)・(n/2)！｝（ｎが偶数のとき）
の漸化式があるので、調べてみて下さい。

お礼

大変親切にありがとうございました！

補足

>>　∫[0、∞]ｔ^4・exp^(-t^2)ｄｔ＝3√π/8なので
ここのところの計算を教えてくださいませんか。

回答No.2

ferien

ANo.1です。補足について、

＞∫[0→∞]ｔ^n・exp^(-t^2)ｄｔ＝（ｎ！√π）／｛２^(n+1)・(n/2)！｝（ｎが偶数のとき）
この積分のｎ＝４の場合です。
Ｉ4＝∫[0→∞]ｔ^4・exp^(-t^2)ｄｔ
＝（４！√π）／｛２^(4+1)・(４/2)！｝
＝４×３・√π／２^5
＝３・√π／２^3
＝３√π／８

Ｉn＝∫[0→∞]ｔ^n・exp^(-t^2)ｄｔ＝∫[0→∞]ｔ^(n-1)・ｔ・exp^(-t^2)ｄｔ
は、部分積分から、
ｆ'＝ｔ・exp（－ｔ^2），ｆ＝∫ｔ・exp^(-t^2)ｄｔ＝(1/2)exp^(-t^2)
ｇ＝ｔ^(n-1)，ｇ'＝(n-1)ｔ^(n-2)とすると、
＝［(1/2)ｔ^(n-1)，exp^(-t^2)］［0→∞］－(1/2)(n-1)∫[0→∞]ｔ^(n-2)exp^(-t^2)ｄｔ
＝０＋(1/2)(n-1)Ｉ[n-2]
のように繰り返し積分していくと、漸化式が得られます。
（詳しくは、参考書か何かで調べてみて下さい）
積分するというよりも
積分結果を覚えて置いて、nに値を代入して積分値を求めるという使い方がいいと思います。
結果をまとめると、
∫[0→∞]ｔ^n・exp^(-t^2)ｄｔ＝（ｎ！√π）／｛２^(n+1)・(n/2)！｝（ｎが偶数のとき）
　　　　　　　　　　　　　　＝(1/2)｛（n-1/2）！｝（ｎが奇数のとき）
になります。