複素解析での式の変形について

質問

こんにちは、複素解析で出てきた以下の式の変形が分かりません。

∫[－∞～∞]exp(ax)/(1+exp(x))dx

exp(x)→ｘとすると

∫[0～∞]x^(a-1)/(x+1)dx

分母は分かるのですが、分子の変形が分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

「exp(x)→x とすると」って書き方はナイなあ。
普通は、「exp(x)=y と置くと」とか書く。

すると、
　　x∈[－∞～∞] が y∈[0～∞]、
　　exp(ax) が y^a、
　　1+exp(x) が 1+y、
　　dx が dy/y になって、
∫[－∞～∞]exp(ax)/(1+exp(x))dx = ∫[0～∞]y^(a-1)/(1+y)dy となる。
積分変数は文字を替えてもよいから、= ∫[0～∞]x^(a-1)/(1+x)dx とも。

いきなり「exp(x)=x と置くと」では、話が混乱するから、
一旦、別の文字にしたほうがいい。
(てか、最後に積分変数を x に戻すことに意味がない。)

お礼

ありがとうございます！ご丁寧な説明で分かりました。

dx = dy/yで出てきた1/yが最終的に分子の指数部のマイナス1になるのですね！

exp(x)→xの変換を考えたことでdx = dy/yのような変換ができなかったのが分からなかった原因みたいですね。
本当にありがとうございました。