式の変形について

質問

－a^3X^4＋2a^3X^3－(a^3＋a^2)X^2＋(a^2－1)X

＝－X{aX－(a－1)}{a^2X^2－(a^2＋a)X＋a＋1}

なんでこんなふうな変形になるんでしょうか？

段階を踏んで教えてもらえれば幸いです…。

回答No.2

SKJAXN

与式＝－X{a^3*X^3－2a^3*X^2＋a^2*(a＋1)X－(a＋1)(a－1)}
と変形できるところまでは、よろしいでしょうか？
ここで、
f(X)＝a^3*X^3－2a^3*X^2＋a^2*(a＋1)X－(a＋1)(a－1)
とおき、因数定理（数学Iで習います）を考えます。
すなわち、多項式の方程式 f(X)＝0 が、解に X＝q/p（pとqは互いに素）を持つ場合、f(X)は p*X－q を因数に持つという定理です。
今回の場合、X＝(a－1)/aを代入すると、f(X)＝0となりますので、
a*X－(a－1)
を因数に持ちます。これが判明すれば、
a^3*X^3－2a^3*X^2＋a^2*(a＋1)X－(a＋1)(a－1)
を
a*X－(a－1)
で除算する（数学Iの範囲の除算、すなわちXの3次式を1次式で除算することでできます）ことにより、商
a^2*X^2－(a^2＋a)X＋a＋1
が得られます。すなわち、
a^3*X^3－2a^3*X^2＋a^2*(a＋1)X－(a＋1)(a－1)＝{a*X－(a－1)}{a^2*X^2－(a^2＋a)X＋a＋1}
よって、
与式＝－X{a*X－(a－1)}{a^2*X^2－(a^2＋a)X＋a＋1}
と変形できます。

ここで、f(X)＝0となる解を探す方法ですが、簡単に見付からないケースでは、X＝q/pのqの候補としては多項式の定数項の約数を、pの候補としては多項式の最大次数の係数の約数を、pとqが互いに素になるように探していく方法があります。今回のケースf(X)においては、定数項は －(a＋1)(a－1) ですので、約数の a－1 はqの候補になります。また最大次数の係数は a^3 ですので、約数のaはpの候補になります。

お礼

有難うございました！

回答No.1

178-tall

>－a^3X^4＋2a^3X^3－(a^3＋a^2)X^2＋(a^2－1)X
　　↓　-X でくくる
= -X*{a^3X^3 - 2a^3X^2 + (a^3＋a^2)X - (a^2－1) }
　　↓　係数整形
= -X*{a^3X^3 - 2a^3X^2 + a^2(a+1)X - (a+1)(a-1) }
　　↓　a^2(a+1)X - (a+1)(a-1) のたすき掛け

これ、なかなかメンドい。

(sX+u)(tX+v) = <stX^2 + > (sv+tu)X + uv として、sv+tu = a^2(a+1), uv = -(a+1)(a-1) の成り立つ {s, t, u, v} を探さねば…。
u = (a+1), v = -(a-1) と分けて、sv+tu = -s(a-1) + t(a+1) = a^2(a+1) なる不定方程式。
一般解は、s = -K(a+1), t = a^2 + K(a-1) らしい。
K=-a のとき s=-a(a+1), t=a 。
　(sX+u)(tX+v) = {-a(a+1)X + (a+1) }{aX - (a-1) }
なる一案を得る。

あとは、3 次多項式
　a^3X^3 - 2a^3X^2 + (a^3＋a^2)X - (a^2－1)
が、{-a(a+1)X + (a+1) } と {aX - (a-1) } のどちらかで整除可なのを調べて、因数分解。

ようやく、
>＝－X{aX－(a－1)}{a^2X^2－(a^2＋a)X＋a＋1}
へ、たどり着きそう？

「難問」というよりも、なかなかの「煩問」ですネ。

お礼

ご丁寧にありがとうございました！