式の変形がよくわかりません。

質問

現在、「定積分」の分野を勉強していますが式の変形でわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
∫（０→１）｛１／（ｘ^３+1）｝
をとけです。

解答は、
｛１／（ｘ^３+1）｝
＝１／（ｘ+1）（ｘ^2―ｘ+1）
＝１／３｛１/（ｘ+1）－（ｘ－２）/（ｘ^2―ｘ+1）｝
＝（１／３）｛１／（ｘ+1）｝-1/6*（2ｘ-１）/（ｘ^2―ｘ+1）+1／２*１・（ｘ^2―ｘ+1）
となっていました。

が、私は
1/3*｛（ｘ－２）/（ｘ^2―ｘ+1）｝
↓
1/6*（2ｘ-１）/（ｘ^2―ｘ+1）+1／２*１・（ｘ^2―ｘ+1）
の変形がわかりません。横にはコメントとして、
「分子が（ｘ^2―ｘ+1）’＝２ｘ－１になるように変形」とあります
２ｘ－１を分子にもってきたいのはわかりますが、その２ｘ－１を作り出すために
どうしたらいいのかわかりませんし、どうしてこのような変形が可能なのかもわかりません。どうしたら、こんな変形ができるのでしょうか。
私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.1

okkunokkun · ベストアンサー

解答を逆から検算しました？＾＾　本の解答はあっていることを確認したことを前提で＾＾。

必要な変換は
(x-2)/(x^2-x+1) の　分子を　(2x-1)　にしたいのです。

(x-2)/(x^2-x+1)
=2*(x-2)/{2*(x^2-x+1)} と分子分母両方に２を掛けます。すると
= (2x-4)/{2*(x^2-x+1)}
=(1/2)*{(2x-4)/(x^2-x+1)}　ここまではわかりますよね？
2x-4を　2x-1　と　-3に分けます。
すると
=(1/2)*{(2x-1)/(x^2-x+1) - 3/(x^2-x+1)}
となります。　あとはわかりますよね？

分子分母に同じ数値もしくは変数を掛けて、後の計算を楽にするテクニックはよく使います。
今回は、わかってしまえば「なあんだぁ」ですが、解くときにいかに使うかは、練習問題をたくさん解く必要があります。がんばってください。。

お礼

：okkunokkunさま、早速のご解答ありがとうございます。また、読みにくい式を読んでくださりありがとうございました。

今、自分でやってみました。なるほどなー。と。なかなか自分では無理でした。やっぱりもっと問題を解かないとだめですね。がんばります。お忙しいところありがとうとございました。

回答No.2

endlessriver

1/3*｛（ｘ－２）/（ｘ^2―ｘ+1）｝
＝1/6*（2ｘ-４）/（ｘ^2―ｘ+1）
＝1/6*（2ｘ-１－３）/（ｘ^2―ｘ+1）
＝1/6*｛（2ｘ-１）－３｝/（ｘ^2―ｘ+1）
＝1/6*｛（2ｘ-１）/（ｘ^2―ｘ+1）－３/（ｘ^2―ｘ+1）｝
＝1/6*（2ｘ-１）/（ｘ^2―ｘ+1）－３/｛６（ｘ^2―ｘ+1）｝
＝1/6*（2ｘ-１）/（ｘ^2―ｘ+1）－１/｛２（ｘ^2―ｘ+1）｝

お礼

endlessriverさま、ありがとうございます。なんとかできました。