階乗式の変形

質問

階乗式の変形

ジョージ・アルフケン、ハンス・ウェーバー「基礎物理数学　特殊関数」の演習問題（添付画像の式）の変形が分かりません。
"sとnは整数で、s<nとする"というのが条件です。

独学で勉強しているのですが、演習問題の解答が本になく、行き詰まっています。ヒントなどお願いいたします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

Γ の反射公式 (-z)・Γ(-z)・Γ(z) = π/(sin πz) に
z = x と z = 2x をそれぞれ代入して、
(-x)・Γ(-x)・Γ(x) = π/(sin πx),
(-2x)・Γ(-2x)・Γ(2x) = π/(sin 2πx).

左辺ごと右辺ごとに割り算すれば、
(1/2)・{ Γ(-x)/Γ(-2x) }・{ Γ(x)/Γ(2x) } = (sin 2πx)/(sin πx).
すなわち、(1/2)Γ(-x)/Γ(-2x) = 2(cos πx){ Γ(2x)/Γ(x) }.

これは、x が整数でないときのみ成立する式だが、
x→m (m は整数) の極限をとる …という意味で
標語的に、(1/2)(-m-1)！/(-2m-1)！ = 2{ (-1)^m }{ (2m-1)！/(m-1)！ }
と書いてもいいのかも知れない。 あくまで標語に過ぎないが。

両辺の分子分母にそれぞれ m を掛けて、
(-m)！/(-2m)！ = { (-1)^m }{ (2m)！/m！ }.
m = n-s とすれば、問題の式になる。

ただし、(s-n)！ という値が存在する訳ではないので、
式変形などは、注意して扱わなければならない。

お礼

ありがとうございます。

すごいですね。ぱっと解ける回答者様を尊敬いたします。

回答No.3

alice_44

(s-n) ! って何でしょう？
Γ関数は、負の整数を極に持ちますから、
s-n < 0 のとき、(s-n) ! は定義できません。

補足

(s-n)!は負数の階乗です。ご指摘の通り、極を持つのでしょうね。

添付画像の式は本によると「負数の階乗が現れるのを避けるために使う」とあります。
(s-n)!を(n-s)!の式にするために使うものだと本に記載されていますが、式変形が理解できていません。

回答No.2

178-tall

訂正 !

　(-m)! = (m!)(-1)^m
を使えるならば、
　(m!)(-m)! = {(m!)^2}(-1)^m
ですね。

補足

回答ありがとうございます。

(-1)を出すのは理解していたのですが、右辺の(n-s)!と(2n-2s)!の項が分母、分子で入れ替わっているのが理解できません。
本の式が間違っているのでしょうか？

回答No.1

178-tall

(-m)! = (-1)^m
を使えば、
　(m!)(-m)! = (m!)(-1)^m
ですね。