円筒関数について、、、

質問

∫{ー∞～＋∞}exp(-ax^2)dx を円筒関数を用いて
といていただきたいのです。
おそらく、Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｒ＾２を用いて
exp{-a(X^2+Y^2}から
exp{-ar^2}rdrとしてとくのだとおもうのですが、、、、
よろしくお願いします。

回答No.1

brogie · ベストアンサー

円筒関数を用いてではありませんが、あなたのヒントに従っての求め方です。

I＝∫{-∞～＋∞}exp(-ax^2)dx
I＝∫{-∞～＋∞}exp(-ay^2)dy
ゆえに、
I^2＝∫∫{-∞～＋∞}exp(-a(x^2+y^2))dxdy

x＝rcosθ、y＝rsinθと置くとdxdy＝rdθdrで、
積分範囲は、θについて0から2π、rについて0から∞ですから
I^2＝∫∫exp(-ar^2)rdθdr
　　＝∫{0～＋∞}exp(-ar^2)rdr∫{0～2π}dθ
　　＝（1/2a)(2π)
　　＝π/a
I＝√（π/a）

円筒関数というとBessel関数ですよね、反って難しいのではないでしょうか？

お礼

さっそくのお返事本当にありがとうございます。
Bessel関数についてはならってはいないのですが、
教授がうるさいのもので、ついつい奥深くまで追求してしまいました。
本当にありがとうございました。

回答No.3

kony0

積分の解法はもうじゅうぶんと思われるので、siegmundさんのおっしゃる、この積分のお話をほんの少し。（大学教養程度の確率のお話です）

(1)ガンマ関数について、Γ(1/2)=√πです。
∫{0～＋∞}exp(-x^2)dx で x^2=y とおくと、
√π/2 = ∫{0～＋∞}exp(-x^2)dx = ∫{0～＋∞}exp(-y)*(1/2)y^(-1/2)dy = (1/2) Γ(1/2)
(2)正規分布の確率密度関数f(x)=c*exp{-(x-μ)^2/(2σ^2)}の係数cが1/sqrt(2πσ^2)であることは、この積分を用いて直ちに示せますね。

これより高等なことは私にはわかんないですが。。。（汗）

お礼

お返答とてもうれしかったです。
ありがとうございました。
これからも分からない事が多いと思いますので、
よろしくお願いします。
ありがとうございました。

回答No.2

siegmund

どうやら，円筒関数というより，円筒座標あるいは２次元極座標を用いて，
ということらしいですね．
円筒座標を使う方法はもう一つの ka-kunn さんの質問
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=190962
に答えた話の
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=185532
がまさにそれになっていますね．

せっかくですから，別法を書いておきます．
なんだか，回答が入れ違ったみたいになっちゃいましたがね．

a は変数変換で消せるから
(1)　　I = ∫{0～∞} exp(-x＾2) dx
が計算できればよい．
あとの正負分類の煩わしさを避けるため，積分区間を 0～∞ と半分にしている．
(2)　　x = yz,　　dx = z dy
とおいて
(3)　　I = ∫{0～∞} z exp(-y^2 z＾2) dy
また，
(4)　　I = ∫{0～∞} exp(-z＾2) dz
と書けるから，(3)(4)より
(5)　　I^2 = ∫{0～∞} exp(-z＾2) dz ∫{0～∞} z exp(-y^2 z＾2) dy
　　　　　 = ∫{0～∞} dy ∫{0～∞} z exp[-(1+y^2)z^2] dz
となり，(5)の z 積分は
(6)　　∫ z exp[-(1+y^2)z^2 dz = - exp[-(1+y^2)]/2(1+y^2)
と不定積分ができるので，
(7)　　∫{0～∞} z exp[-(1+y^2)z^2 dz = 1/2(1+y^2)
になる．したがって
(8)　　I^2 = (1/2) ∫{0～∞} dy/(1+y^2)
だが，この不定積分は
(9)　　∫ dy/(1+y^2) = arctan y
なので，(8)は
(10)　　I^2 = (1/2) ∫{0～∞} dy/(1+y^2) = π/4
と計算できる．よって
(11)　　I = √π/2
あるいは
(12)　　∫{-∞～∞} exp(-x＾2) dx = √π

この定積分(ガウス積分)はあちらこちらで出てくる有名な積分です．
結果が√πであることはぜひ記憶しておいてください．

お礼

またもやすばやい回答に心から感謝申し上げます。
本当に助かりました。ありがとうございます。
またなにかあれば、助けていただきたいと思います。
ありがとうございました。