ディラックのデルタ関数δ(x)

質問

ディラックのデルタ関数δ(x)に対する次の式を示せ。
(1/2)π∫[-∞,+∞]exp(ixy)dy=lim[ε→+0](1/2π)∫[-∞,+∞]exp(ixy-ε|y|)dy=lim[ε→+0](1/π){ε/(x^2+ε^2)}=δ(x)

∫[-∞,+∞]δ(x)dx=1からどうやって導くのですか？詳しい解説お願いします。


回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

ε>0と実数xに対して
lim_{ε→+0}f(0,ε)=∞
x≠0→lim_{ε→+0}f(x,ε)=0
∫_{-∞～∞}f(x,ε)dx=1
となる関数族
[f(x,ε)]_{ε>0}
をデルタ関数といい
δ(x)=lim_{ε→+0}f(x,ε)
と表す

f(x,ε)=ε/{π(x^2+ε^2)}
とすると
lim_{ε→+0}f(0,ε)=lim_{ε→+0}1/(πε)=∞

x≠0
→
lim_{ε→+0}f(x,ε)
=lim_{ε→+0}ε/{π(x^2+ε^2)}
=0

∫_{-∞～∞}ε/{π(x^2+ε^2)}dx
=(1/π)∫_{-π/2～π/2}dt
=1
だから
関数族
[ε/{π(x^2+ε^2)}]_{ε>0}
はデルタ関数となるから
δ(x)=lim_{ε→+0}ε/{π(x^2+ε^2)}
と表せるから

{1/(2π)}∫_{-∞～∞}e^{ixy}dy
=lim_{ε→+0}{1/(2π)}∫_{-∞～∞}e^{ixy-|y|ε}dy
=lim_{ε→+0}{1/(2π)}[∫_{-∞～0}e^{y(ix+ε)}dy+∫_{0～∞}e^{y(ix-ε)}dy]
=lim_{ε→+0}{1/(2π)}[[e^{y(ix+ε)}/(ix+ε)]_{-∞～0}+[e^{y(ix-ε)}/(ix-ε)]_{0～∞}]
=lim_{ε→+0}{1/(2π)}[1/(ix+ε)+1/(ε-ix)]
=lim_{ε→+0}ε/{π(x^2+ε^2)}
=δ(x)

お礼

詳しい解説ありがとうございます。