格子振動のエネルギーの計算について

質問

固体物理学での計算問題で疑問があったので質問します。

[問]
弾性振動の定在波u=u_0*cosKx*cosωt を考える。ここで、u_0は振幅、Kは波数、ωは角周波数をそれぞれ表している。媒質の密度をρとするとき、運動エネルギー密度は(1/2)*ρ*(∂u/∂t)^2で与えられる。体積Vの結晶についてエネルギーの時間平均を求めよ。

答えは(1/8)*ρVω^2*u_0^2になるようですが、計算の過程がわかりません。
与えられた式で運動エネルギー密度を計算してから、それを体積積分し、その時間平均を取れば良いというのは分かりました。しかし、体積Vしか与えられていない状態で、体積積分の積分区間はどのように決めたらよいのでしょうか。また、時間平均を取る際の積分区間は0から2π、すなわち1周期で良いのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

u = u0 cos Kx cosωt
∂u/∂t = - ωu0 cosKx sinωt

位置 x におけるエネルギー密度は
ε(x) = 1/2・ρ(∂u/∂t)
= 1/2・ρω^2u0^2 cos^2 kx sin^2ωt
= 1/2・ρω^2u0^2 cos^2 kx (1 - cos2ωt)/2

時間平均をとると
ε~(x) = 1/4・ρω^2u0^2 cos^2 kx
= 1/4・ρω^2u0^2 (1 - cos2kx)/2
= 1/8・ρω^2u0^2 (1 - cos2kx)

これは位置 x で変わります。しかし定在波ですから，体積中に半波長の整数倍だけ存在していると考えることができます。すると，その体積平均は 0 ≦ x ≦ λ/2 にわたる平均と等しくなります。

したがって体積平均は
ε~~ = 1/8・ρω^2u0^2

結晶全体のエネルギー平均は
E~ = ε~~V

となると思います。

お礼

ありがとうございます！！
納得できました！