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音波のエネルギー密度

音波のエネルギーの式に関する質問です。 速度場をv(ベクトル)、密度を、流体が静止しているときの値ρ_0からのずれρ'で表します。 ρ=ρ_0+ρ' 音波の振幅が小さいとし、vの大きさ、ρ'も小さいとします。 音波にともなうエネルギー密度は、 Ε=(1/2)ρ_0v^2+(1/2)(c^2/ρ_0)ρ'^2 (1) (c:音速) 音波にともなうエネルギーの流れの密度j_εは j_ε=c^2ρ'v (j_e:ベクトル) (2) 、(1)と(2)は保存則 ∂Ε/∂t+divj_ε=0をみたすそうなのですが、この保存則が導出できなくて困っています。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • karaha
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...いろいろ考えてみましたが、結局解けませんでした。役立たずですみません。 連続体力学や流体力学を学ぶ人は、案外多いと思うのですが、音波の分野は専門外だとすっ飛ばすことが多いようです。 ですので、音波についての基礎的な式を併記するか、参考URLを示すと、解いてくれる人も増えるのではないでしょうか。(自分も、近似の式を求める場合は断熱扱いなのを今回はじめて知りました) また、たしか数学専攻の人の中には、完全流体の式の解析解を求めるのを研究テーマにしてる人もいたと思いますので、数学のカテゴリにも質問すると良いかもしれませんです。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 質問欄には最低限の式を選んで書いたものですから・・・。 Εとj_ε(2つとも近似されていますが)を導く過程や 連続の方程式などなど、細かいことを書くと1ページや2ページじゃすまされなくなってしまうものですから。 「これこれの本の何ページ何行目がわかりません」と書くわけにもいかないので・・・。 僕と同じ本を読んでいそうな人と連絡がとれつつあるので、その人にあたってみようと思います。 すいません。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • karaha
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えと、ごめんなさい。 第3項は無視しちゃだめかもしれないです。 エネルギー流速 j の式ではρ'v を無視してませんので。

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質問者からの補足

∂Ε/∂t+divj_ε =ρ_0|v|(∂|v|/∂t)+(c^2ρ'/ρ_0)(∂ρ'/∂t)+c^2divρ'v =ρ_0|v|(∂|v|/∂t)+(c^2ρ'/ρ_0)(∂ρ'/∂t)-c^2(∂ρ'/∂t + ρ_0divv ) いまのところここで止まっています。 あ、すいません。cは一定でして、 c=1/sqr(ρ_0K) Kは圧縮率でして、 K^{-1}≡ρ[(dP/dρ)|ρ=ρ_0] [(dP/dρ)|ρ=ρ_0]:dP/dρの結果にρ=ρ_0を代入したもの。

  • 回答No.1
  • karaha
  • ベストアンサー率28% (2/7)

時間が無くて最後まで考えられませんでしたが、どうも式が足りない気がします。 とりあえず、最低でも以下の式を追加しないと解けないのでは? ∂ρ/∂t + div(ρv) = 0 ∂(ρ_0+ρ')/∂t + div((ρ_0+ρ')/v) = 0 ∂ρ'/∂t + ρ_0div(v) + div(ρ'v) = 0 ――第3項は十分小さいとみなせば? ∂ρ'/∂t + ρ_0div(v) = 0 また、音速 c を時間的・空間的に一定とみなしてよいかどうかも、定義して欲しいと思いました。中途半端な回答でごめんなさい。

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