この積分が解けません

質問

先日、この積分（↓）を質問したものです。

∫{0→+∞}{exp(-x^2)/x}dx

今回は少しだけ形が違います。x^2の前にα（αは定数）がついたら答えはどうなるのでしょうか？

∫{0→+∞}{exp(-αx^2)/x}dx

初歩的なことかもしれませんが、どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> ∫{－∞→+∞}{exp(-αx^2)/x}dx = 0

数学的な意味ではこの積分は不定です．
もともと，積分は細かく分けておいて足し合わせたものですが，
分け方に答が依存するようでは困ります．
今の場合，被積分関数が x=0 で発散していますから注意が必要です．

こういう積分は
∫{－∞→-p}{exp(-αx^2)/x}dx + ∫{q→+∞}{exp(-αx^2)/x}dx
とし(p,q は正)，
p と q を互いに無関係にゼロに近づけたとき，
近づけ方に関係なく積分値が一定の値になるときに積分値が確定する，
というのです．

p=q としながらゼロに近づければ確かに積分値はゼロですが，
p=2q としながらゼロに近づければ積分値は負の無限大に発散します．
逆に q=2p とすれば積分値は正の無限大にに発散します．

以上のような理由で，積分値は不定です．
p=q としながら p と q をゼロに近づけたときには
積分の主値を取った，といいます．
積分の主値をとるなら積分値はゼロです．
主値を取る記号は P で，
Ｐ∫{－∞→+∞}{exp(-αx^2)/x}dx = 0
というような書き方をします．

物理や工学も問題では発散を押さえるなんらかの機構が働いていて，
結果的に主値を取ったのと同じことになる，という場合もよく見られます．

お礼

ありがとうございます。勘違いしていました。

回答No.2

siegmund

この前(No.578469)回答しました siegmund です．

> （√α）ｘ=ｔと置換すると∫{exp(-t^2)/t}dtとなりますよね？

ojamanbo さんの書かれているとおり，係数も消えてしまいますね．

> 今までは置換積分したら、置き換えた文字（この場合はt）をまた戻していました。
> 例えば、積分した答えにtが含まれていればt =（√α）xを代入するといった感じです。

それは不定積分のときですね．
定積分ならそうしおいてから x の端の値を代入して引き算でもよいし，
t のまま端の値(当然 t に変換した後の値)を代入して引き算でもよいわけです．
例えば
(1)　　∫{0～π/4} sin(2x) dx
でしたら 2x=t とおき，dx = dt/2，から不定積分
(2)　　 -(1/2) cos(t) = -(1/2) cos(2x)
を求めて x=π/4 と x=0 を代入して引き算してもよいし，
最初から全部 t でやることにして
(3)　　(1) = ∫{0～π/2} sin(t) (dt/2)
としてもいいのです．

今は後者のやり方でやって，
積分範囲が t に変換した後も 0～∞ になることに注意すればＯＫ．

> ∫{exp(-t^2)/t}dt = (πi)/2
> となることはわかります。

そうならず発散します，というのが私の前の回答です．
複素平面上である積分路で ∫{exp(-z^2)/z}dz を計算すれば
(πi)/2 になるのは事実ですが，その積分と今の積分とは同じではありません．
大体，積分とは細かく分けておいて加え合わせたものですから．
実数である {exp(-t^2)/t} を加え合わせて純虚数になるのはおかしいと
思わないといけません．

お礼

もう一つ質問です。積分範囲が－∞→+∞に変わったら以下のようになると思うんですが、これはあってますか？

∫{－∞→+∞}{exp(-αx^2)/x}dx = 0

いろいろ質問してばかりですいません。

回答No.1

noname#24477

f(ax+b)の形ならａｘ＋ｂ＝ｔと置換すれば
dx=(1/a)dt　となって係数がついてくるだけで
本質的にf(x)の積分と変わりません。
ただ定積分なら積分区間に影響します。

ご質問の場合も（√α）ｘ＝ｔと置換すれば係数がついてくる
だけで元の積分と同じになるでしょう。（α≠０）
分母にもｘがある分、係数も消えるかな？
積分区間も０から∞なら変わらないですね。

お礼

（√α）ｘ=ｔと置換すると∫{exp(-t^2)/t}dtとなりますよね？
だからこの前教えてもらったやり方で
∫{exp(-t^2)/t}dt = (πi)/2
となることはわかります。

今までは置換積分したら、置き換えた文字（この場合はt）をまた戻していました。例えば、積分した答えにtが含まれていればt =（√α）xを代入するといった感じです。

今回は積分の答えにtが含まれていないので、こういったことはしなくてもよいのでしょうか？